a , vì Δ ABC vuông tại A (gt)

=> AC² = BC² - AB²  (py - ta - go )

               = 15² - 9² = 144 

=> AC = 12 cm 

Ta có : AC >AB ( 12cm> 9cm)

=>∠ABC > ∠ACB ( quan hệ giữa cạnh và góc đối diện)

Vậy ∠ABC > ∠ACB

b, Xét ΔABC và ΔAEC có:

AB=AE ( A là trung điểm BE)

AC chunng

=> ΔABC = ΔAEC ( c.c.c)

=> ∠ABC = ∠AEC ( góc tương ứng )

=> ΔBEC cân tại C ( đpcm )

c, 

có BH là trung tuyến của Δ BEC (gt)

     CA là trung tuyến của Δ BEC ( AB=AE)

mà BH ∩ CA = {M}

=>M là trọng tâm của ΔBEC (định nghĩa)

=> CM = 2/3 . AC (tính chất trọng tâm )

=> CM = 2/3. 12 = 8cm 

d , 

Ta có A là trung điểm của EB (gt)

       mà AK // BC (gt)

=> K là trung điểm của BC (tính chất đường trung bình)

Lại có : EK là trung tuyến của Δ BEC (định nghĩa )

mà M là trọng tâm của Δ BEC (cmt)

=> E , M ,K thẳng hàng  

Đáp án:

$a,$

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 + AC^2 = BC^2` (Pitago)

`->AC^2 = BC^2 - AB^2`

`-> AC^2 = 15^2 - 9^2`

`-> AC^2 = 12^2`

`-> AC = 12cm`

$\\$

Xét `ΔABC` có :

`AB < AC < BC` (Vì `9cm < 12cm < 15cm`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`hat{C} < hat{B} < hat{A}`

$\\$

$\\$

$b,$

Xét `ΔABC` và `ΔAEC` có :

`hat{BAC} = hat{EAC} = 90^o`

`AC` chung

`AB = AE` (Vì `A` là trung điểm của `BE`)

`-> ΔABC = ΔAEC` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`-> BC = EC` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔBEC` cân tại `C`

$\\$

$\\$

$c,$

Xét `ΔBEC` có :

`CA` là đường trung tuyến

`BH` là đường trung tuyến

`CA` cắt `BH` tại `M`

`-> M` là trọng tâm của `ΔBEC`

$\\$

`-> CM = 2/3 AC`

`-> CM = 2/3 . 12`

`-> CM  =8cm`

$\\$

$\\$

$d,$

Vì `ΔABC = ΔAEC` (chứng minh trên)

`-> hat{KCM} = hat{HCM}` (2 góc tương ứng)

$\\$

Xét `ΔBAM` và `ΔEAM` có :

`BA = EA` (Vì `A` là trung điểm của `BE`)

`AM` chung

`hat{BAM} = hat{EAM} = 90^o`

`-> ΔBAM = ΔEAM` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{BMA} = hat{EMA}` (2 góc tương ứng)

$\\$

Ta có : `hat{KMC} = hat{EMA}` (2 góc đối đỉnh)

ta có : `hat{HMC} = hat{BMA}` (2 góc đối đỉnh)

mà `hat{BMA} = hat{EMA}`

`-> hat{KMC} =hat{HMC}`

$\\$

Xét `ΔKCM` và `ΔHCM` có :

`hat{KCM} = hat{HCM}` (chứng minh trên)

`hat{KMC} = hat{HMC}` (chứng minh trên)

`MC` chung

`-> ΔKCM = ΔHCM` (góc - cạnh - góc)

$\\$

`-> KC = HC` (2 cạnh tương ứng)

mà `HC = 1/2 CE,CE = BC`

`-> KC = 1/2 BC`

hay `K` là trung điểm của `BC`

`-> EK` là đường trung tuyến

`-> EK` đi qua `M`

`-> E,M,K` thẳng hàng