Đáp án:

 a) $144 cm^2$

b) $12 cm$

Giải thích các bước giải:

 a) $SΔABN=\dfrac{1}{3} SΔABC=72 cm^2$ ( hai tam giác có cùng chiều cao hạ từ đỉnh A)

⇒ $SΔAMN= \dfrac{1}{3}SΔABN= 24 cm^2 $ ( hai tam giác có cùng chiều cao hạ từ đỉnh N)

Tương tự: $SΔNIC=48 cm ^2$

$S MNIB= SΔABC-SΔAMN-SΔNCI=144 cm^2$

b)  Chiều cao ΔBNC là: 

$144 .2:36= 8$ ( cm)

$BI=\dfrac{2}{3}BC=24 cm$

Diện tích hình thang MNIB là:

$\dfrac{(MN+BI). 8}{2}=144 ⇔ \dfrac{(MN+24). 8}{2}=144 ⇒ MN=12 cm$

Giải thích các bước giải:

a, Nối NB.

+) Ta có:

`S_{AMN} = 1/3 xx S_{ANB}` (cùng chiều cao hạ từ N xuống AB, `AM = 1/3 xx AB`)

Lại có:

`S_{ANB} = 1/3 xx S_{ABC}` (cùng chiều cao hạ từ B xuống AC, `AN = 1/3 xx AC`)

Do đó, `S_{AMN} = 1/3 xx 1/3 xx S_{ABC} = 1/9 xx S_{ABC} = 1/9 xx 216 = 24` `(cm^2)`

+) Tương tự lập luận trên, suy ra:

`S_{NIC} = 1/3 xx 2/3 xx S_{ABC} = 2/9 xx S_{ABC} = 2/9 xx 216 = 48` `(cm^2)`

+) Khi đó,

`S_{MNIB} = S_{ABC} - S_{AMN} - S_{NIC} = 216 - 24 - 48 = 144` `(cm^2)`

b, Đáy `CI` của tam giác `NIC` là:

        `36 xx 1/3 = 12` `(cm)`

Chiều cao tam giác `NIC` là:

        `(48 xx 2)/12 = 8` `(cm)`

Mà chiều cao tam giác `NIC` cũng chính bằng chiều cao hình thang `MNIB` và bằng `8cm`

Độ dài đáy `BI`:

      `36 - 12 = 24` `(cm)`

Độ dài đoạn `MN` là:

      `(144 xx 2)/8 - 24 = 12` `(cm)`

Đáp số: a, `144cm^2`

             b, `12cm`