Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1)$ ΔABE ≈ ΔACF (g.g) (∠AEB = ∠AFC = 90^{0};$ chung $∠A$)

$ ⇒ \dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC} (1)⇔ AE.AC = AF.AB (đpcm)$

$ (1)⇔ \dfrac{AE}{AF} = \dfrac{AB}{AC} ⇒ ΔAEF ≈ ΔABC$

( chung $∠A$ xen giữa cặp cạnh tương ứng tỷ lệ )$ ⇒∠AEF = ∠ABC (đpcm)$

2) Vẽ $FG⊥AE (G∈AE)⇒ FG//BE ⇒ \dfrac{BE}{FG} = \dfrac{AB}{AF} $

$ \dfrac{S_{ABC}}{S_{AEF}} = \dfrac{2S_{ABC}}{2S_{AEF}} = \dfrac{BE.AC}{FG.AE} = \dfrac{BE}{FG}.\dfrac{AC}{AE} $

$ = \dfrac{AB}{AF}.\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{AB}{AE}.\dfrac{AC}{AF} =(\dfrac{AB}{AE})² (2)$

Tương tự hoán vị ta có: $\dfrac{S_{ABC}}{S_{BDF}} = (\dfrac{BC}{BF})² (3)$

Mà theo GT $ : S_{AEF} = S_{BDF} ⇒ (\dfrac{AB}{AE})² = (\dfrac{BC}{BF})²$

$ ⇔\dfrac{AB² + BE²}{AE²} = \dfrac{BF² + CF²}{BF²} ⇔ 1 + \dfrac{BE²}{AE²} = 1 + \dfrac{CF²}{BF²}$

$  \dfrac{BE²}{AE²} = \dfrac{CF²}{BF²} ⇔ \dfrac{BE}{AE} = \dfrac{CF}{BF}$

$ ⇒ ΔABE ≈ ΔBCF ⇔ ∠BAE = ∠CBF (*)$

Tương tự hoán vị $: ∠CBF = ∠ ACD (**)$

$(*); (**) ⇒ ΔABC $ đều (đpcm)

3) $ \dfrac{AH}{BC} = \dfrac{BH}{AC} ⇔  \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{AB}{AC}$

Mà $∠CAH = ∠CBH $ ( cùng phụ với $∠ACB$)

$ ⇒ ΔACH ≈ ∠BCH ⇒ ΔACH = ∠BCH$

(chung cạnh $CH) ⇒ AC = BC$

Tương tự hoán vị $: BC = AB ⇒ ΔABC$ đều

4) Áp dungj kết quả câu 1) và câu 2)

$∠BAE = ∠BAC = 60^{0} ⇔ ΔABE $ là nửa tam giác đều

$⇒AB = 2AE ⇒ \dfrac{AB}{AE} = 2 ⇒ \dfrac{S_{ABC}}{S_{AEF}} =(\dfrac{AB}{AE})² = 4 $

$ ⇔ \dfrac{S_{AEF} + S_{BFEC}}{S_{AEF}} = 4 ⇔ 1 + \dfrac{ S_{BFEC}}{S_{AEF}} = 4 $

$ ⇔ \dfrac{S_{BFEC}}{S_{AEF}} = 3⇔ S_{BFEC} = 3S_{AEF}(đpcm)$