Đáp án: a) $\frac{3}{4}$ 

  b) BC = 20 

c) $S_{ΔAHD}$= 6,58

Giải thích các bước giải:

 a) Xét ΔABC có : AD là đường phân giác 

⇒ $\frac{BD}{DC}$ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{3}{4}$ 

Ta có :  $S_{ΔABD}$ = $\frac{1}{2}$ AH . BD   (1)

$S_{ΔADC}$ = $\frac{1}{2}$ AH . DC   (2)

Từ (1) và (2) suy ra : $\frac{$S_{ΔABD}$ }{$S_{ΔADC}$}$ = $\frac{BD}{DC}$ = $\frac{3}{4}$ 

b) Áp dụng đ/l pytago vào ΔABC vuông tại A ta có: 

$BC^{2}$ = $AB^{2}$ + $AC^{2}$ 

                = 144 + 256 = 400

⇒ BC = 20 (đvđd)

Ta có : $\frac{BD}{DC}$ = $\frac{3}{4}$ ( theo câu a)

hay $\frac{BD}{BC - BD}$ = $\frac{3}{4}$ 

⇒ 4BD = (20 - BD)3

⇔4BD + 3BD = 60

⇔ 7BD = 60

⇔BD = $\frac{60}{7}$ 

Xét ΔABC và ΔHAC có :

∠A = ∠AHC = $90^{0}$ 

∠C chung

⇒ΔABC đồng dạng ΔHAC ( g . g)

⇒ $\frac{AH}{AB}$ =$\frac{AC}{BC}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AH = 9,6

c) Áp dụng đ/ l pytago vào ΔHAC vuông tại H có:

$AC^{2}$ = $AH^{2}$ + $HC^{2}$ 

⇒$HC^{2}$ = $AC^{2}$ - $AH^{2}$

                    = 256 - 92,16 = 163,84

⇒HC = 12,8

Ta có: BH = BC - HC = 20 - 12,8 = 7,2

⇒ HD = BD - BH = $\frac{60}{7}$ - 7,2 =$\frac{48}{35}$

$S_{ΔAHD}$ =$\frac{1}{2}$ HD . AH ≈ 6,58