Đáp án + giải thích các bước giải: 

Ta sẽ chứng minh `1/(1+a^2)+1/(1+b^2)>=2/(1+ab)`

`1/(1+a^2)+1/(1+b^2)≥2/(1+ab) (1)`

`->1/(1+a^2)-1/(1+ab)+1/(1+b^2)-1/(1+ab)≥0`

`->(1+ab-1-a^2)/[(1+a^2)(1+ab)]+(1+ab-1-b^2)/[(1+b^2)(1+ab)]≥0`

`->(ab-a^2)/[(1+a^2)(1+ab)] + (ab-b^2)/[(1+b^2)(1+ab)]≥0`

`->[a(b-a)(1+b^2)+b(a-b)(1+a^2)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

`->[a(b-a)(1+b^2)-b(b-a)(1+a^2)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

`->{[b-a][a(1+b^2)-b(1+a^2)]}/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

`->[(b-a)(a+ab^2-b-a^2b)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

`->[(b-a)(a-b)+(b-a)(ab^2-a^2b)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

`->[(a-b)^2+(b-a)ab(b-a)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

`->[(a-b)^2+ab(a-b)^2]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0`

`->[(a-b)^2 . (1+ab)]/[(1+b^2)(1+ab)(1+a^2)]≥0 (2)`

`(2)` luôn đúng với `a,b` dương 

`->(1)` đúng

Tương tự, có: 

`1/(1+b^2)+1/(1+c^2)>=2/(1+bc)`

`1/(1+c^2)+1/(1+a^2)>=2/(1+ac)`

`->2(1/(1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2))>=2/(1+ab)+2/(1+bc)+2/(1+ca)`

`->1/(1+a^2)+1/(1+b^2)+1/(1+c^2)>=1/(1+ab)+1/(1+bc)+1/(1+ca)`

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu:

`1/(1+ab)+1/(1+bc)+1/(1+ca)>=(1+1+1)^2/(1+ab+1+bc+1+ca)=3^2/(3+3)=9/6=3/2 `

Vậy `P>=3/2 `

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=1`

Đáp án:

 ta có BĐT phụ sau

`(∀x > 0) 1/(x^2 + 1) >= -1/2 x + 1`

`<=> [x(x - 1)^2]/[2(x^2 + 1)] >= 0 ( luôn đúng , ∀x > 0)`

Áp dụng BĐT phụ đó ta có : 

`P >= -1/2 (a+  b + c) + 3 >= -1/2 . \sqrt{3(ab + bc+  ca)} + 3 = -1/2 . \sqrt{3.3} + 3 = 3/2`

Dấu "=" xảy ra `<=> a=  b = c = 1`

Vậy $GTNN$ của `P = 3/2 <=> a=  b=  c = 1`

Giải thích các bước giải: