Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a) \Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC$

$N$ là trung điểm $AB\Rightarrow AN=\dfrac{AB}{2}$

$M$ là trung điểm $AC \Rightarrow AM=\dfrac{AC}{2}$

Mà  $AB=AC$

$\Rightarrow AN=AM$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ANC:$

$AM=AN$

$\widehat{BAC}:$ chung

$AB=AC\\ \Rightarrow \Delta AMB = \Delta ANC (c.g.c)\\ \Rightarrow BM=CN$

$b) G$ là giao hai trung tuyến $BM$ và $CN$ của $\Delta ABC$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow AG$ là trung tuyến 

Mà $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\Rightarrow AG$ đồng thời là phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow  \widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Xét $\Delta AGB$ và $\Delta AGC:$

$AG:$ chung

$\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\\ AB=AC\\ \Rightarrow  \Delta AGB = \Delta AGC (c.g.c)\\ \Rightarrow  GB=GC$

$\Rightarrow  \Delta GBC$ cân tại $G$

$c)\Delta ABC$ cân tại $A, AG$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow AG$ đồng thời là đường cao $\Delta ABC$

$\Rightarrow AG \perp BC.$