Đáp án:

$\begin{array}{l}
1)Dkxd:a > 0;a\# 1\\
F = \left( {\dfrac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a  - 1}} - \dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 1}} + 4\sqrt a } \right).\left( {\sqrt a  - \dfrac{1}{{\sqrt a }}} \right)\\
 = \dfrac{{\left( {\sqrt a  + 1} \right).\left( {\sqrt a  + 1} \right) - \left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right) + 4\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\\
.\dfrac{{a - 1}}{{\sqrt a }}\\
 = \dfrac{{a + 2\sqrt a  + 1 - a + 2\sqrt a  - 1 + 4\sqrt a \left( {a - 1} \right)}}{{a - 1}}.\dfrac{{a - 1}}{{\sqrt a }}\\
 = \dfrac{{4\sqrt a  + 4a\sqrt a  - 4\sqrt a }}{{\sqrt a }}\\
 = \dfrac{{4a\sqrt a }}{{\sqrt a }}\\
 = 4a\\
2)a = \dfrac{{\sqrt 6 }}{{2 + \sqrt 6 }}\left( {tmdk} \right)\\
 \Leftrightarrow F = 4.\dfrac{{\sqrt 6 }}{{2 + \sqrt 6 }}\\
 = 4.\dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }}\\
 = 4.\dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}}{{3 - 2}} = 12 - 4\sqrt 6 \\
3)F =  - 1\\
 \Leftrightarrow 4a =  - 1\\
 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{4}\left( {ktm} \right)
\end{array}$

Vậy ko có giá trị của a để $F =  - 1$

$\begin{array}{l}
4)F < \sqrt a  - 1\\
 \Leftrightarrow 4a < \sqrt a  - 1\\
 \Leftrightarrow 4a - \sqrt a  + 1 < 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt a } \right)^2} - 2.2.\sqrt a .\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{{15}}{{16}} < 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt a  - \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{{16}} < 0\left( {ktm} \right)
\end{array}$

Vậy ko có a thỏa mãn.

$\begin{array}{l}
5)F = 4a\\
Do:a > 0\\
 \Leftrightarrow F > 0
\end{array}$

=> ko tìm được giá trị nhỏ nhất của F

$\begin{array}{l}
6)\sqrt F  > F\\
 \Leftrightarrow \sqrt {4a}  > 4a\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt a  > 4a\\
 \Leftrightarrow \sqrt a  > 2a\\
 \Leftrightarrow a > 4{a^2}\\
 \Leftrightarrow \left( {4a - 1} \right).a < 0\\
 \Leftrightarrow 4a - 1 < 0\\
 \Leftrightarrow a < \dfrac{1}{4}\\
Vậy\,0 < a < \dfrac{1}{4}\\
7)F - \dfrac{1}{{\sqrt a }}\\
 = 4a - \dfrac{1}{{\sqrt a }}\\
 = \dfrac{{4a\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a }}\\
Do:a > 0;a\# 1
\end{array}$

Nên $F - \dfrac{1}{{\sqrt a }}$ có thể >0; <0; =0 tùy vào giá trị của a

=> F có thể lớn hơn; nhỏ hơn hoặc bằng $\dfrac{1}{{\sqrt a }}$