Đáp án:

`c)` `-2^{15} C_{15}^7 x^8/{y^7}`

`d)` `-2^{101} . 3^{99} C_{200}^{99}`

`e)` `8085`

`f)` `238`

Giải thích các bước giải:

$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k$ `(0\le k\le n)`

Số hạng tổng quát của `(a+b)^n` là: `C_n^k a^{n-k} b^k` `(0\le k\le n)`

__________

`c)` Số hạng tổng quát của khai triển `(2x-2/y)^{15}` là:

`C_{15}^k (2x)^{15-k} (-2/y)^k` `(0\le k\le 15)`

Với `k=0` có số hạng đầu tiên

Số hạng thứ `8` trong khai triển trên tương ứng với `k=7` là:

`\qquad C_{15}^7 (2x)^{15-7} (-2/y)^7`

`=C_{15}^7 2^8 x^8 . (-2)^7/y^7`

`=2^8 . (-2)^7 C_{15}^7 x^8/{y^7}`

`=-2^{15} C_{15}^7 x^8/{y^7}`

$\\$

`d)` Số hạng tổng quát của khai triển `(2x-3y)^{200}` là:

`C_{200}^k (2x)^{200-k} (-3y)^k``(0\le k\le 200;k\in NN)`

`=C_{200}^k 2^{200-k} x^{200-k} .(-3)^k y^k`

`=2^{200-k} .(-3)^k C_{200}^k x^{200-k}y^k`

Số hạng chứa `x^{101}y^{99}` tương ứng với:

$\begin{cases}200-k=101\\k=99\end{cases}$ `<=>k=99` (thỏa mãn)

Vậy hệ số của `x^{101}y^{99}` với `k=99` là:

`\qquad 2^{200-99} . (-3)^{99} C_{200}^{99}`

`=-2^{101} . 3^{99} C_{200}^{99}`

$\\$

`e)` Ta có:

 `(1+2x+3x^2)^{10}=[1+(2x+3x^2)]^{10}`

$=\sum\limits_{k=0}^{10} C_{10}^k 1^{10-k} (2x+3x^2)^k$ `(0\le k\le 10)`

$=\sum\limits_{k=0}^{10} C_{10}^k \sum\limits_{i=0}^k C_k^i (2x)^{k-i} (3x^2)^i$ `(0\le i\le k)`

$=\sum\limits_{k=0}^{10} C_{10}^k \sum\limits_{i=0}^k C_k^i 2^{k-i} x^{k-i} 3^i x^{2i}$

$=\sum\limits_{k=0}^{10} \sum\limits_{i=0}^k C_{10}^k C_k^i 2^{k-i} 3^i x^{k+i}$

Số hạng chứa `x^4` tương ứng với:

`k+i=4\ (0\le i\le k\le 10;i;k\in NN)`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}k=4\\i=0\end{cases}\\\begin{cases}k=3\\i=1\end{cases}\\\begin{cases}k=2\\i=2\end{cases}\end{array}\right.$

Vậy hệ số của `x^4` trong khai triển là:

`C_{10}^4.C_4^0 . 2^{4-0} .3^0+C_{10}^3 C_3^1 . 2^{3-1} . 3^1 +C_{10}^2 . C_2^2 . 2^{2-2} . 3^2=8085`

$\\$

`f)` `(1+x^2-x^3)^8`

`=[1+(x^2-x^3)]^8`

$=\sum\limits_{k=0}^8 C_8^k 1^{8-k} (x^2-x^3)^k$ `(0\le k\le 8)`

$=\sum\limits_{k=0}^8 C_8^k \sum\limits_{i=0}^k C_k^i (x^2)^{k-i} (-x^3)^{i}$ `(0\le i\le k)`

$=\sum\limits_{k=0}^8 C_8^k \sum\limits_{i=0}^k C_k^i x^{2k-2i} (-1)^i x^{3i}$

$=\sum\limits_{k=0}^8 \sum\limits_{i=0}^k C_8^k C_k^i (-1)^i x^{2k+i}$

Số hạng chứa `x^8` trong khai triển ứng với:

`2k+i=8\ (0\le i\le k\le 8;i;k\in NN)`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}k=4\\i=0\end{cases}\\\begin{cases}k=3\\i=2\end{cases}\end{array}\right.$

Vậy hệ số của `x^8` trong khai triển là:

`C_8^4 .C_4^0 (-1)^0+C_8^3 . C_3^2 .(-1)^2 =238`