Đáp án:

$a/$

Xét `ΔABD` và `ΔACE` có :

`hat{AEC} = hat{ADB} = 90^o`

`AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)

`hat{A}` chung

`-> ΔABD = ΔACE` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

$\\$

$b/$

Vì `ΔABD = ΔACE` (chứng minh trên)

`-> hat{ABD} = hat{ACE}` (2 góc tương ứng)

$\\$

Ta có : `hat{HBC} = hat{B} - hat{ABD}`

Ta có : `hat{HCB} = hat{C} - hat{ACE}`

mà `hat{B} = hat{C}, hat{ABD} = hat{ACE}`

`-> hat{HBC} = hat{HCB}`

$\\$

`-> ΔBHC` cân tại `H`

$\\$

$\\$

$c/$

Vì Δ`BHC` cân tại `H`

`-> HB = HC`

$\\$

Xét `ΔHDC` vuông tại `D` có :

`HC` là cạnh lớn nhất

`-> HC > HD`

$\\$

mà `HB = HC`

`-> HB > HD`

$d/$

Gọi `I` là giao điểm của `BN` và `CM` (*)

$\\$

Vì `ΔABD = ΔACE` (chứng minh trên)

`-> AE = AD` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Xét `ΔAHE` và `ΔAHD` có :

`hat{AEH} = hat{ADH} = 90^o`

`AE = AD` (chứng minh trên)

`AH` chung

`-> ΔAHE = ΔAHD` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> hat{IHN} = hat{IHM}` (2 góc tương ứng)

$\\$

Xét `ΔIHE` và `ΔIHM` có :

`IH` chung

`HN = HM` (giả thiết)

`hat{IHN} = hat{IHM}` (chứng minh trên)

`-> ΔIHE = ΔIHM` (cạnh - góc - cạnh)

`-> IN = IM` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Xét `ΔNHB` và `ΔMHC` có :

`hat{NHB} = hat{MHC}` (2 góc đối đỉnh)

`HN = HM`(giả thiết)

`BH = CH` (Vì `ΔBHC` cân tại `H`)

`-> ΔNHB = ΔMHC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BN = CM` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Ta có : `IB = IN + BN`

Ta có : `IC = IM + CM`

mà `IN = IM, BN = CM`

`-> IB = IC`

`-> I` nằm trên đường trung trực của `BC (1)`

$\\$

Ta có : `AB = AC` (Vì `ΔABC` cân tại `A`)

`-> A` nằm trên đường trung trực của `BC (2)`

$\\$

Ta có : `HB = HC` (Vì `ΔBHC` cân tại `H`)

`-> H` nằm trên đường trung trực của `BC (3)`

$\\$

Từ `(1), (2), (3)`

`-> I,A,H` thẳng hàng

hay `AH` đi qua `I` (**)

$\\$

Từ (*) và (**)

`-> BN,AH,CM` đồng quy tại `I`

Câu d dài quá nên mik làm tắt síu