Biến đổi tương đương: $\\$ $a^2+2bc \geq 4S\sqrt{3}$$\\$ $\Leftrightarrow b^2+c^2-2bc.cos{A}+2bc\geq 4\frac{bc.sin{A}}{2} \sqrt{3}$$\\$ $\Leftrightarrow (b+c)^2 \geq 2bc(cos{x}+sin{x}\sqrt{3})$$\\$ Đặt $A=x, f(x)= cos{x}+sin{x}\sqrt{3}$$\\$ Vì $(b+c)^2 \geq 4bc$$\\$ Nên ta đi chứng minh $2\geq cos{A}+sin{A}\sqrt{3} $$\\$ $f(x)=\frac{1}{2} sin(x+\frac{\pi}{6})$ $\\$ $f'(x)=\frac{1}{2}cos(x+\frac{\pi}{6})=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+k\pi$$\\$ Đến đây xét đạo hàm cấp hai trên đoạn $\left[0,2\pi\right]$ $\\$ Tìm được cực đại của $f(x)=f(\frac{\pi}{3})=2$$\\$ Vậy $2\geq cos{A}+sin{A}\sqrt{3} \rightarrow $đpcm$\\$ Đẳng thức xảy ra khi $b=c,A=60^o \Rightarrow \Delta ABC$ đều

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Bạn biến đổi tương đương, áp dụng $a^2=b^2+c^2-2bc.cos{A}$ và $S=\frac{bc.sin{A}}{2}$$\\$

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành $(b+c)^2\geq 2bc(cos{A}+sin{x}\sqrt{3})$$\\$

Ta đi chứng minh $2 \geq cos{A}+sin{x}\sqrt{3}$$\\$

Để chứng minh chỉ cần tìm cực trị hàm số lượng giác là ra $\\$

Đẳng thức xảy ra khi $\Delta ABC$ đều

Chúc bạn học tốt