Đáp án:

a) Qua $D$ vẽ $//AB\cap BC=I\Rightarrow DI//AB$

$\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{HDI}$ (cặp góc so le trong).

Xét hai tam giác vuông $\Delta ABH$ và $\Delta DIH$ có:

$HA=HD$ (giả thiết).

$\widehat{BAH}=\widehat{HDI}$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow\Delta ABH=\Delta DIH$ (góc-cạnh-góc).

$\Rightarrow AB=DI$ (hai cạnh tương ứng).

b) $\Delta ABH=\Delta DIH$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow BH=IH$ (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông $\Delta AHI$ và $\Delta BDH$ có:

$BH=IH$ (chứng minh trên).

$HA=HD$ (giả thiết).

$\Rightarrow\Delta AHI=\Delta BDH$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow \widehat{IAH}=\widehat{BDH}$ (hai góc tương ứng)

$\Rightarrow BD//AI$ (cặp góc so le trong).

c) Qua $D$ vẽ $//AB\cap AC=K$

$\Rightarrow DK//AB$ mà $AB\,\bot\,AC$

$\Rightarrow DK\,\bot\,AC$ (từ vuông góc đến song song đảo).

$\Rightarrow DK$ là đường cao của $\Delta ACD$.

$H\in BC,AH\,\bot\,BC\Rightarrow AH\,\bot\,HC$

$\Rightarrow HC$ là đường cao của $\Delta ACD$.

Mà $AH\equiv HD\Rightarrow H\in AD\Rightarrow AD\,\bot\,HC$

$AB//DI$ và $AB//DK\Rightarrow DI\equiv IK$

$\Rightarrow I\in KD$ mà $I\in HC$

$\Rightarrow KD\cap HC=I\Rightarrow I$ là trực tâm của $\Delta ACD$

$\Rightarrow AI$ đi qua trực tâm $I$

Mà $AI\cap CD=E\Rightarrow AE$ đi qua trực tâm $I$

$\Rightarrow AE$ là đường cao của $\Delta ACD$

$\Delta ACE$ vuông tại $E$ ($AE\,\bot\,CD$)

$\Rightarrow \widehat{EAC}+\widehat{ACE}=90^\circ$ (tổng hai góc nhọn).

$DK\,\bot\,AC$ mà $I\in DK\Rightarrow KI\,\bot\,AC$

Và $K\in AC\Rightarrow KI\,\bot\,AK$

$\Rightarrow\Delta AKI$ vuông tại $K$.

$\Rightarrow\widehat{AIK}+\widehat{IAK}=90^\circ$.

$\Rightarrow\widehat{EAC}+\widehat{ACE}=\widehat{AIK}+\widehat{IAK}=90^\circ$

Ta có $I\in AE$ ($AE$ đi qua trực tâm $I$).

Và $K\in AC\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat{IAK}$

$\Rightarrow\widehat{IAK}+\widehat{AIK}=\widehat{IAK}+\widehat{ACE}$

$\Rightarrow\widehat{AIK}=\widehat{ACE}$.