a. Xét ΔABD và ΔKBD có:

`hat{BAD}=hat{BKD}=90^o` (BA⊥AC;DK⊥BC)

BD cạnh chung

`hat{ABD}=hat{KBD}` (BD phân giác góc ABC)

⇒ ΔABD=ΔKBD (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AB=KB (2 cạnh tương ứng) (đpcm).

b. Xét  ΔBCm có:

CA⊥BM ⇒ CA là đường cao ΔBMC.

MK⊥BC => MK là đường cao ΔBMC.

Mà CA∩MK = {D}.

⇒ D là trực tâm ΔBMC. (tính chất)

⇒ BD là đường cao thứ ba ΔBMC.

⇒ BD⊥MC (đpcm).

c. Ta gọi giao của BD và CM là E.

Xét ΔBEM và ΔBEC có:
`hat{BEM}=hat{BEC}=90^o` (BD⊥CM)

BE cạnh chung

`hat{MBE}=hat{CBE}` (BE phân giác góc MBC)

⇒ ΔBEM=ΔBEC (g.c.g)

⇒BM=BC (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔABC vuông tại A có:

`hat{ABC}+hat{ACB}=90^o` (tổng 3 góc trong tam giác vuông)

⇒ `hat{ABC}+30^o=90^o`

⇒ `hat{ABC}=60^o`

Hay `hat{MBC}=60^o`

Xét ΔBMC có:

BM=BC(cmt)

`hat{MBC}=60^o`

⇒ ΔBMC là tam giác đều (tính chất tam giác đều) (đpcm).

d. Ta nối A với K.

Xét ΔABK có:

AB=KB(cma)

`hat{ABK}=60^o`(cmc)

⇒ ΔABK đều (tính chất tam giác đều).

Ta có: AH⊥BK.

⇒ AH là đường cao ΔABK.

Mà ΔABK đều (cmt)

⇒ AH là đường trung trực BK (tính chất tam giác đều).

⇒ H là trung điểm BK.

⇒ BH=HK.

Mà BH+HK=BK (công thức cộng đoạn)

⇒ 2HK=BK (1).

Ta có MK là đường cao ΔBMC(cmc)

Mà ΔBMC đều(cmc).

⇒ MK là đường trung trực cạnh BC (tính chất tam giác đều).

⇒ K là trung điểm BC.

⇒ BK=CK (2).

Từ (1) và (2) ⇒ 2HK=CK (đpcm).

Mình không chắc có đúng không nữa nhưng mong bạn vote cho mình nhé!!!