Câu 1:

                     P(1)=Q(3)

⇔1³-2.m.1+m²   =3²+(3m+1).3+m²

⇔m²-2m+1        =m²+9m+12

⇔m²-m²-2m-9m=12-1

⇔-11m                 =11

⇔m                     =-1 

Câu 2:

a. Xét ΔABE và ΔACE có

AE chung 

AB=AC(Δ cân)

BE=CE

⇒ΔABE=ΔACE(c.c.c)

⇒góc AEB= góc AEC

Mà AEB+AEC=$180^{o}$ 

⇒góc AEB= góc AEC=$90^{o}$ 

⇒ AE vuông góc BC

b. Xét ΔABC cân tại A ta có

BD là đường trung tuyến(AD=DC)

AE cũng là đường trung tuyến

Mà BD cắt AE tại H 

⇒H là trọng tâm của ΔABC

c. Ta có BC=8

⇒BE=$\frac{1}{2}$BC=4

Áp dụng định lý Pytago vào Δ vuông ABE ta có:

             AE²=AB²-BE²

                   =6²-4²

                   =20

⇒AE=$\sqrt[]{20}$=2$\sqrt[]{5}$ 

Vì AH=$\frac{2}{3}$AE

⇒AH=$\frac{2}{3}$.2$\sqrt[]{5}$=$\frac{4\sqrt[]{5}}{3}$(cm)

Giải thích các bước giải:

Câu 1:

 Ta có:

$P\left( x \right) = {x^3} - 2mx + {m^2};Q\left( x \right) = {x^2} + \left( {3m + 1} \right)x + {m^2}$

Để $P\left( 1 \right) = Q\left( 3 \right)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {1^3} - 2m.1 + {m^2} = {3^2} + \left( {3m + 1} \right).3 + {m^2}\\
 \Leftrightarrow 1 - 2m = 12 + 9m\\
 \Leftrightarrow m =  - 1
\end{array}$

Vậy $m=-1$

Câu 2:

a) Ta có:

$AB=AC$ (do tam giác $ABC$ cân ở $A$)

$EB=EC$ (do $E$ là trung điểm của $BC$)

$\to AE$ là đường trung trực của $BC$

$\to AE\bot BC$

b) Ta có:

$AE$ là trung trực của $BC$

Mà $\Delta ABC$ cân ở $A$ 

$\to AE$ là trung tuyến của $\Delta ABC$

Mặt khác: $AE\cap BD=H$

$\to H$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABE;\widehat E = {90^0};AB = 6cm;BE = \dfrac{1}{2}BC = 4cm\\
 \Rightarrow AE = \sqrt {A{B^2} - B{E^2}}  = 2\sqrt 5 cm\\
 \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{3}cm
\end{array}$

Vậy $AH = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{3}cm$