Đáp án:

 1024

Giải thích các bước giải:

 Đề đúng: $\displaystyle \left( 2^{x+1} -\sqrt{2}\right)\left( 2^{x} -y\right) < 0$

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \left( 2^{x+1} -\sqrt{2}\right)\left( 2^{x} -y\right) < 0\\ \Leftrightarrow 2\left( 2^{x} -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left( 2^{x} -y\right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( 2^{x} -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left( 2^{x} -y\right) < 0\ ( 1)\\ TH1:0< y< \frac{1}{\sqrt{2}}\\ ( 1) \Rightarrow y< 2^{x} < \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \Leftrightarrow log_{2} y< x< -\frac{1}{2}\\ Để\ với\ mỗi\ giá\ trị\ y\ không\ có\ quá\ 10\ giá\ trị\ x\\ \Leftrightarrow log_{2} y\geqslant -10\\ \Leftrightarrow \{_{y\in \left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}}\right) ,\ y\in \mathbb{Z}}^{y\geqslant 2^{-10}} \Rightarrow y=\emptyset \\ TH2:\ y >\frac{1}{\sqrt{2}}\\ ( 1) \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} < 2^{x} < y\\ \Leftrightarrow -\frac{1}{2} < x< log_{2} y\\ Để\ với\ mỗi\ giá\ trị\ y\ không\ có\ quá\ 10\ giá\ trị\ x\\ \Leftrightarrow log_{2} y\leqslant 10\\ \Leftrightarrow \{_{y >\frac{1}{\sqrt{2}} ,\ y\in \mathbb{Z}}^{y\leqslant 2^{10} =1024} \Rightarrow y=[ 1;1024]\\ Vậy\ có\ 1024\ giá\ trị\ của\ y\\ \end{array}$