Hình bạn tự vẽ nha !

1) Xét ΔAMC và ΔACN có:

∠NAC chung

MCA = CNA ( = $\frac{1}{2}$ sđCM )

→ ΔAMC ᔕ ΔACN ( gg )

→ $\frac{AM}{AC}$ = $\frac{AC}{AN}$ 

→ AC² = AM.AN ( đpcm )

+ Ta có : AE² = AO² - OE² ( áp dụng pi-ta-go vào ΔAEO )

               AC² = AO² - OC² ( áp dụng pi-ta-go vào ΔACO )

→ AE² - AC² = OC² -OE² 

= ON² - OE² = EN² = ($\frac{MN}{2}$ )² = $\frac{MN²}{4}$ HAY MN² = 4( AE² - AC² )

2. 

Kẻ MK ⊥ BC , đoạn AO ∩ ( O ) = { F } , AO ∩ BC = { H }

Ta có : MJK = MCK ( tứ giác MJCK nt )

MCK = MBI ( cùng chắn cung MC )

MBI = MKI ( tứ giác MKBI nt )

→ MJK = MKI   ( 1 )

Cm tương tự ta cũng có : MIK = MKJ  ( 2 )

( 1 )( 2 )→ ΔMIK ᔕ ΔMKJ ( gg )

→ $\frac{MI}{MK}$ = $\frac{MK}{MJ}$

→ MK² = MI.NJ

Để MI.MJ lớn nhất thì MK phải lớn nhất . Mặt khác M ∈ cung nhỏ BC nên MK ≤ FH → vậy MK lớn nhất khi MK = Fh . Hay M ≡ F

Vậy khi A,M,O thẳng hàng thì MI.MJ đạt giá trị lớn nhất