Hình bạn tự vẽ nhé !

2. Xét 2 Δ vuông MAI và IBN

Ta có ∠NIB  = ∠IMA ( góc có cạnh thẳng góc )

→ ΔMAI ᔕ ΔIBN ( gg )

→ $\frac{AM}{IB}$ = $\frac{AI}{BN}$ 

→ AM.BN = AI.BI ( đpcm )              ( 1 )

3. Xét tứ giác MAIE có ∠A = ∠E = 1v ( đối nhau ) nên chúng nội tiếp trong đường tròn đường kính MI 

Tương tự ta có tứ giác ENBi nội tiếp đường tròn đường kính IN. Vậy ∠ENI = ∠EBI ( cùng chắn cung EI ) 

Tương tự ∠EMI = ∠EAI ( cùng chắn cung EI )

Mà ∠EAI + ∠EBI = 1v ( ΔEAD ⊥ E )

→ ∠MIN = 180° - (∠EMI + ∠ENI )

= 180° - 1v = 1v ( đpcm )

4. Gọi G là điêm rđói xứng của F qua AB . Ta có AM + BN = 2OG            ( 2 )   ( Vì tứ giác AMNB là hình thang và cạnh OG là cạnh trung bình của AM và BN )

Ta có : AI = $\frac{R}{2}$ , BI = $\frac{3R}{2}$

( 1 )( 2 )→AM + BN = $\frac{3R²}{4}$

Vậy Am , BN là nghiệm của phương trình X² - 2RX + $\frac{3R²}{4}$ = 0

→ AM = $\frac{R}{2}$ hay BN = $\frac{3R}{2}$ . Vậy ta có 2 Δ⊥cân là MAI cân tại A và NBI cân tại B

→ MI= $\frac{R \sqrt{2}}{2}$ = $\frac{R}{\sqrt{2} }$ và NI = $\frac{3R\sqrt{2} }{2}$ =$\frac{3R}{\sqrt{2} }$ 

→ S$_{MIN}$ = $\frac{1}{2}$ .$\frac{R}{\sqrt{2} }$ .$\frac{3R}{\sqrt{2} }$ = $\frac{3R²}{4}$