$a,$ 
Ta có: $\widehat{HEA}=\widehat{EAF}=\widehat{AFH}=90^o$
$⇒EHAF$ là hình chữ nhật
$⇒EA=HF;EH=AF$
Hệ thức:
$EH^2=BE.AE$
$HF^2=AF.CF$
$Pitago$:
$BC^2=AB^2+AC^2$
$⇔BC^2=(AE+BE)^2+(AF+CF)^2$
$⇔BC^2=AE^2+BE^2+AF^2+CF^2+2AE.BE+2AF.CF$
$⇔BC^2=BE^2+CF^2+AE^2+EH^2+2EH^2+2HF^2$
$⇔BC^2=BE^2+CF^2+AH^2+2(EH^2+EA^2)$
$⇔BC^2=BE^2+CF^2+AH^2+2AH^2$
$⇔BC^2=3AH^2+BE^2+CF^2$
$→$ đpcm
$b,$ Dễ thấy:
$BE.AB=BH^2$
$⇒BE^2.AB^2=BH^4$
$⇒BE^2=\dfrac{BH^4}{AB^2}=\dfrac{BH^4}{BH.BC}=\dfrac{BH^3}{BC}$
Tương tự:
$CF^2=\dfrac{HC^3}{BC}$
$⇒\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\sqrt[3]{\dfrac{BH^3}{BC}}+\sqrt[3]{\dfrac{HC^3}{BC}}$
$⇒\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\dfrac{BH+HC}{\sqrt[3]{BC}}$
$⇒\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\dfrac{BC}{\sqrt[3]{BC}}$
$⇒\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\sqrt[3]{\dfrac{BC^3}{BC}}$
$⇒\sqrt[3]{BE^2}+\sqrt[3]{CF^2}=\sqrt[3]{BC^2}$
$→$ đpcm

`a,` Xét tứ giác `AEHF` ta có:

`{:(ΔABC \text{vuông tại} A => hat{A} = 90^o),(HE ⊥ AB => hat{HEA} = 90^o),(HF ⊥ AB => hat{HFA} = 90^o):}} =>` tứ giác `AEHF` là hình chữ nhật

`=> EF = AH`

`BC^2 = AB^2 + AC^2` (py-ta-go)

          `= AH^2 + BH^2 + AH^2 + CH^2`

          `= 2AH^2 + BE^2 + HE^2 + CF^2 + HF^2`

          `= 2AH^2 + BE^2 + CF^2 + EF^2`

          `= 2AH^2 + BE^2 + CF^2 + AH^2 (AH = EF)`

          `= 3AH^2 + BE^2 + CF^2 (đpcm)`

`b, ` Xét `ΔABH` vuông tại `H, HE` là đường cao

Theo hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác ta có:

`BH^2 = BE . AB`

`=> BH^4 = BE^2 . AB^2`

`=> BE^2 = (BH^4)/(AB^2) = (BH^4)/(BH . BC) = (BH^3)/(BC)`

CM tương tự `=> CF^2 = (CH^3)/(BC)`

`\root{3}{BE^2} + \root{3}{CF^2} = \root{3}{(BH^3)/(BC)} + \root{3}{(CH^3)/(BC)}`

`= \root{3}{BH^3}/\root{3}{BC} + \root{3}{CH^3}/\root{3}{BC} = (BH)/\root{3}{BC} + (CH)/\root{3}{BC}`

`= (BC)/\root{3}{BC} = \root{3}{BC^3}/\root{3}{BC} = \root{3}{(BC^3)/(BC)} = \root{3}{BC^2} (đpcm)`