1. 

 a) Tứ giác ABOC có :

∠ABO = ∠ACO = 90° → tứ giác AOBC nội tiếp đường tròn đường kính AO ( đpcm )

b) Xét ΔABE và ΔADB có :

∠BAD chung

∠ABE = ∠BDE ( tc tiếp tuyến và dây cung )

→ΔABE ᔕ ΔADB ( g.g )

→$\frac{AB}{AD}$ =$\frac{AE}{AB}$ 

→AB²= AE.AD ( đpcm )

2.

1a. Vì OI ⊥ MI ; CO ⊥ IO (gt)

→ CO // MI mà MP⊥CO →MAP⊥MI

→MP//OI→MPOI là hình thang vuông

b.Do MPOI là thang vuông →IMP=1v

hay OMP=1v→OP là đường kính của (O)

→Q , O , P thẳng hàng

3a.Xét 2 tam giác vuông : MPQ và MHP có : Vì ΔAOM cân ở O ; I là trung điểm AO ; MI⊥AO →ΔMAO là tam giác cân ở M →ΔAMO là tam giác đều →Sđ AM = 60° và sđ MC = sđ CP = 30°

→AM = MP

→MPH = MQP ( góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau ) →ΔMHP ᔕ ΔMPQ 

→$\frac{MH}{MP}$ = $\frac{MP}{MQ}$ →MH.MQ = MP²

b.Gọi J là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔQHP. Do sđ AQ = sđ MP = 60°→ΔMQP cân tại H và QHP = 120°

→J nằm trên đường thẳng HO →ΔHPJ là tam giác đều mà HPM = 30°→MPH + MPJ = MPJ = 90°

hay JP⊥MP tại P nằm trên đường tròn ngoại tiếp ΔHPQ → đpcm