Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a, Δ' = (m + 1)² - m + 4 = m² + 2m + 1 - m + 4 = m² + m + 5 = (m + $\frac{1}{2}$)² + $\frac{19}{4}$ > 0 với mọi m

⇒ pt luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀ m

b, Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

⇔ Δ' > 0; $\frac{c}{a}$ < 0

Mà Δ' > 0 với mọi m ⇒ $\frac{c}{a}$ < 0

⇔ m - 4 < 0 ⇔ m < 4

Vậy m < 4 thì pt có 2 nghiệm trái dấu

c, Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$\left \{ {{x_1+x_2=2(m+1)} \atop {x_1x_2=m-4}} \right.$

Theo bài ra ta có:

M = $x_{1}$(1 - $x_{2}$) + $x_{2}$(1 - $x_{1}$) + 2021

= $x_{1}$ - $x_{1}$$x_{2}$ + $x_{2}$ - $x_{1}$$x_{2}$ + 2021

= $x_{1}$ + $x_{2}$ - 2$x_{1}$$x_{2}$ + 2021

= 2(m + 1) - 2(m - 4) + 2021

= 2m + 2 - 2m + 8 + 2021

= 2031

⇒ M không phụ thuộc vào m

Chúc bn học tốt! 

`x^2-2(m+1)x+m-4=0` (1)

a) pt (1) có `a=1; b'=-(m+1), c=m-4`

`Δ'=[-(m+1)]^2-1.(m-4)=m^2+2m+1-m+4=m^2+m+5`

Để pt có 2 nghiệm phân biệt 

`=> Δ'>0`

`<=> m^2+m+5>0` (luôn đúng với mọi m)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) pt(1): để pt có nghiệm 

`=> Δ'>=0`

`<=> m^2+m+5>=0` (luôn đúng)

`=>` pt luôn có nghiệm với mọi m  (lưu ý: nghiệm ở đây có thể là nghiệp kép hoặc phân biệt)

Theo hệ thức Vi-et ta có

$\left \{ {{S=x_1+x_2=2(m+1)} \atop {P=x_1.x_2=m-4}} \right.$

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu `=> P<0` (P ở Vi-et)

`<=> m-4<0`

`<=>m<4`

Vậy `m<4 =>` pt có 2 nghiệm trái dấu

c) Theo giả thiết:

`M=x_1(1-x_2)+x_2(1-x_1)+2021`

   `=x_1-x_1.x_2+x_2-x_1.x_2+2021`

   `=x_1+x_2-2x_1.x_2+2021` (2)

Thay P và S vào (2) ta có       (P và S ở Vi-et)

`2(m+1)-2.(m-4)+2021`

`=2m+2-2m+8+2021`

`=2031`

Vây biểu thức M không phụ thuộc vào m

Chúc bn học tốt!!