Có thể là có cách ngắn hơn ak :v

Trong mp' $(ABD)$, kẻ đường thằng vuông góc $BD$ tại $D$, cắt $BA$ tại $I$..

$\Delta ABD$ cân có $\widehat{BAD}=60^o=>\Delta ABD$ đều.

Xét $\Delta IDB$ vuông tại $D$: $\frac{DI}{DB}=tan60^o=> DI=\sqrt{3}.a$

và $BI=\frac{DI}{sin60^o}=2a$.

$IA=BI-AB=2a-a=a$.

Xét $\Delta IAC$ có $AI=AC=a$, $\widehat{IAC}=180^o-\widehat{BAC}=60^o$.

$=> \Delta AIC$ đều $=> IC=a$.

Áp dụng định lí cos cho $\Delta ABC$:

$BC^2=a^2+a^2-2.a.a.cos120^o=3a=> BC=\sqrt{3}.a$

Áp dụng Pytago cho $\Delta BDC: DC=\sqrt{2}.a$.

Áp dụng định lí Pytago đảo cho $\Delta IDC$:

$DC^2+IC^2=2a^2+a^2=3a^2=ID^2$=> $\Delta IDC vuông tại C$.

$S_{ICD}=\frac{1}{2}.a.\sqrt{2}.a=\frac{\sqrt{2}}{2}.a^2$.

Ta thấy: $BD \perp DI$ và $BD \perp DC=> BD \perp (CDI)$

$=> V_{BDIC}=\frac{1}{3}.a.\frac{\sqrt{2}}{2}.a^2=\frac{\sqrt{2}}{6}.a^3$

Lại có: $\frac{V_{ABCD}}{V_{BDIC}}=\frac{BA}{BI}.\frac{BD}{BD}.\frac{BC}{BC}=\frac{1}{2}$

$=> V_{ABCD}=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{6}.a^3=\frac{\sqrt{2}}{12}.a^3$

Thử xem kết quả có đúng ko nhé tui làm vội quá :<