Bài 7:  Cho đường tròn $\left( O;R \right)$, đường kính $AB$…

a)

Theo tính chất hai tiếp cắt nhau, ta có:

$AC=MC$

$BD=MD$

$\to AC+BD=MC+MD$

$\to AC+BD=CD$

b)

Ta có $\Delta MAB$ nội tiếp $\left( O \right)$, đường kính $AB$

$\to \Delta MAB$ vuông tại $M$

$\to A{{B}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}$ (Định lý Pytago)

$\to {{\left( 2R \right)}^{2}}={{R}^{2}}+M{{B}^{2}}$

$\to 4{{R}^{2}}={{R}^{2}}+M{{B}^{2}}$

$\to M{{B}^{2}}=3{{R}^{2}}$

$\to MB=R\sqrt{3}$

Ta có $MH.AB=MA.MB$ (hệ thức lượng)

$\to MH=\dfrac{MA.MB}{AB}=\dfrac{R.R\sqrt{3}}{2R}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

c)

Cách 1:

Lấy $E$ sao cho $E$ là trung điểm $HB$

Ta có $ME$ là đường trung bình của $\Delta KHB$

$\to ME//KB\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có $EI$ là đường trung bình của $\Delta MHB$

$\to EI//MB$

$\to EI\bot MA$

$\to I$ là trực tâm của $\Delta MAE$

$\to AI\bot ME\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)\to AI\bot BK$

Cách 2:

Ta có $H{{M}^{2}}=HA.HB$ (hệ thức lượng)

$\to HM.HM=HA.HB$

$\to \left( 2HM \right).\left( \dfrac{1}{2}HM \right)=HA.HB$

$\to HK.HI=HA.HB$

$\to \dfrac{HK}{HA}=\dfrac{HB}{HI}$

Lại có $\widehat{KHB}=\widehat{AHI}=90{}^\circ $

$\to \Delta HKB\sim\Delta HAI\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{HKB}=\widehat{HAI}$

Mà $\widehat{HKB}+\widehat{HBK}=90{}^\circ $

$\to \widehat{HAI}+\widehat{HBK}=90{}^\circ $

$\to AI\bot BK$

Bài 7:  Từ điểm $C$ nằm ngoài đường tròn $\left( O;R \right)$...

a)

Ta có $CA=CB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\to \Delta ABC$ cân tại $C$

Lại có $OA=OB=R$

$\to OC$ là đường trung trực của $AB$

$\to AB\bot OC$

b)

Ta có $\widehat{BMK}=90{}^\circ $ (góc  nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\to BM\bot CK$ tại $M$

Xét $\Delta BCK$ vuông tại $B$, đường cao $BM$

$\to KM.KC=K{{B}^{2}}$ (hệ thức lượng)

$\to KM.KC={{\left( 2R \right)}^{2}}$

$\to KM.KC=4{{R}^{2}}$

c)

Xét $\Delta CBJ$ có hai đường cao $CO$ và $BM$ cắt nhau tại $N$

$\to N$ là trực tâm của $\Delta CBJ$

$\to JN\bot BC$ tại $F$

$\to JN//BK$

Xét $\Delta CBO$ có $NF//OB\to \dfrac{NF}{OB}=\dfrac{CN}{CO}$

Xét $\Delta CKO$ có $NJ//OK\to \dfrac{NJ}{OK}=\dfrac{CN}{CO}$

$\to \dfrac{NF}{OB}=\dfrac{NJ}{OK}$

Mà $OB=OK=R$

$\to NF=NJ$

$\to N$ là trung điểm $JF$