ĐK : `m \ne 0`

`mx^2 - 2 (m+1) x - 3m = 0 (1)`

`\Delta' = [ - (m+1)]^2 - m . (-3m) = (m+1)^2 + 3m^2 \ge 0 \forall m`

`=>` Phương trình `(1)` luôn có hai nghiệm

Theo hệ thức Vi-ét ta có : `{(x_1+x_2=(2(m+1))/m),(x_1.x_2=(-3m)/m = -3):}`

Ta có :

`A = x_1^2 + x_2^2`

` = (x_1+x_2)^2 - 2 . x_1 . x_2`

`= ( (2m+2)/m )^2  - 2 . (-3)`

` = (2+  2/m)^2 + 6 \ge 6 \forall m`

Dấu `=` xảy ra `<=> 2 + 2/m = m=-1` (thỏa mãn)

Vậy `\text{Min}_A = 6 <=> m =-1`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 Xét phương trình `mx^2 - 2(m+1)x + (-3m) = 0 ( m \ne 0)`

có : `a = m ; b = -2(m+1) ; c = -3m`

Ta có :

`Δ = b^2 - 4ac `

`Δ = 4.(m^2 + 2m + 1) - 4.m  . (-3m)`

`Δ = 4m^2 + 8m + 4 + 12m^2`

`Δ = 16m^2 + 8m + 4`

`Δ = (4m)^2 + 2.4m.1 + 1^2 + 3`

`Δ = (4m +1)^2 + 3`

Vì `(4m+1)^2 >= 0 ∀ m`

`=> (4m+1)^2 + 3 >= 3 > 0 ∀m`

`=>` phương trình đa cho luôn có hai nghiệm phân biệt `x_1 ; x_2 ∀m`

Theo hệ thức Vi-ét ta có :

$\begin{cases} x_1 + x_2 =\dfrac{-b}{a}=\dfrac{2m+2}{m} \\x_1 . x_2 = \dfrac{c}{a} = -3 \end{cases}$

Theo bài ra ta có :

`A = x_1^2 + x_2^2`

`=(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 . x_2`

`= ({2m+2}/m )^2 - 2. (-3)`

`= ( {2m+2}/m )^2 + 6`

Vì `( {2m+2}/m )^2 >= 0 ∀m`

`=> ( {2m+2}/m )^2 + 6 >= 6 ∀m`

Dấu "`=`" xảy ra `<=> {2m+2}/m = 0`

`<=> 2m + 2 = 0`

`<=> m = -1` ( thỏa mãn)

`=>` $Min_A = 6$ `<=> m = -1`

Vậy $Min_A = 6$ `<=> m = -1`