Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to AE\perp BE$

        $AB\perp CD=O$

$\to \widehat{HOB}=\widehat{HEB}=90^o$

$\to B, O, H, E\in$ đường tròn đường kính $BH$

b.Xét $\Delta AOH,\Delta ABE$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AOH}=\widehat{AEB}(=90^o)$

$\to \Delta AOH\sim\Delta AEB(g.g)$

$\to \dfrac{AO}{AE}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AH\cdot AE=AO\cdot AB=R\cdot 2R=2R^2$

c.Ta có: $I$ là trung điểm $OB\to OI=IB=\dfrac12OB=\dfrac12R$

$\to AI=AO+OI=\dfrac32R, IB=\dfrac12R$

$\to \dfrac{IB}{IA}=\dfrac13$

Vì $AB\perp CD\to C$ nằm chính giữa cung $AB\to EC$ là phân giác $\widehat{AEB}$

$\to EI$ là phân giác $\widehat{AEB}$

$\to \tan\widehat{BAE}=\dfrac{EB}{EA}=\dfrac{IB}{IA}=\dfrac13$

d.Ta có:

$\dfrac{EB}{EA}=\dfrac13\to EA=3EB$

$\Delta ABE$ vuông tại $E\to EA^2+EB^2=AB^2=4R^2$

$\to (3EB)^2+EB^2=4R^2$

$\to 10EB^2=4R^2$

$\to EB=\dfrac{2R}{\sqrt{10}}$

$\to EA=\dfrac{6R}{\sqrt{10}}$

Mà $AH\cdot AE=2R^2$

$\to AH=\dfrac{2R^2}{AE}=\dfrac{R\sqrt{10}}3$

$\to OH=\sqrt{AH^2-AO^2}=\dfrac13R=\dfrac13OD$

Lại có $O$ là trung điểm $AB, OH=\dfrac13OD$

$\to H$ là trọng tâm $\Delta ABD$

Mà $AH\cap BD=K$

$\to K$ là trung điểm $BD$

$\to OK\perp DB$