Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$ Xét $\Delta BHA$ và $\Delta BAC$

$\widehat{ABC}:$ chung

$\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta BHA \backsim \Delta BAC (g.g) (1)\\ \Rightarrow \dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\\ \Rightarrow AB^2=BH.BC$

$b) P$ là trung điểm của $BH \Rightarrow BP=\dfrac{BH}{2}$

$Q$ là trung điểm của $AH \Rightarrow AQ=\dfrac{AH}{2}$

Xét $\Delta AHC$ và $\Delta BAC$

$\widehat{ACB}:$ chung

$\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta AHC \backsim \Delta BAC (g.g) (2)\\ (1)(2) \Rightarrow  \Delta BHA \backsim \Delta AHC\\ \Rightarrow  \dfrac{BH}{AH}=\dfrac{AB}{CA}\\ \Leftrightarrow  \dfrac{2BQ}{2AQ}=\dfrac{AB}{CA}\\ \Leftrightarrow  \dfrac{BP}{AQ}=\dfrac{AB}{CA}\\ \Rightarrow \dfrac{AB}{BP}=\dfrac{CA}{AQ}\\  \Delta BHA \backsim \Delta AHC\\ \Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{A_1}$

Xét $\Delta ABP$ và $\Delta CAQ$

$\dfrac{AB}{BP}=\dfrac{CA}{AQ}\\  \widehat{B_1}=\widehat{A_1}\\ \Rightarrow \Delta ABP \backsim \Delta CAQ (c.g.c)$

$c) \Delta ABH$ có $P$ là trung điểm của $BH, Q$ là trung điểm của $AH$

$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình $\Delta ABH$

$\Rightarrow PQ//AB$

Mà $AB \perp AC$

$\Rightarrow PQ \perp AC$

$\Delta APC$ có $Q$ là giao hai đường cao $AH$ và $PQ$

$\Rightarrow Q$ là trực tâm $\Delta APC$

$\Rightarrow CQ \perp AP.$