a) Ta có $\Delta ABC\bot A,\widehat A=90^o,\widehat C=30^o$ theo tính chất tổng ba góc trong tam giác ta có:

$\widehat A+\widehat B+\widehat C=180^o$

$\Rightarrow B=180^o-A-C=60^o$

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AHD$ có:

$AH$ chung

$\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$

$BH=DH$ (giả thiết)

$\Rightarrow\Delta AHB=\Delta AHD$ (c.g.c)

$\Rightarrow AB=AD$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \Delta ABD$ cân đỉnh A có $\widehat B=60^o$ nên $\Delta ABD$ đều.

b) $\Delta ABD$ đều $\Rightarrow \widehat{BAD}=60^o$

$\Rightarrow\widehat{EAC}=\widehat A-\widehat{BAD}=30^o$

Xét $\Delta HAC$ và $\Delta ECA$ có:

$AC$ chung

$\widehat{HCA}=\widehat{EAC}=30^o$

$\Rightarrow \Delta HAC=\Delta ECA$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow HA=EC$ (hai cạnh tương ứng)

c) $\Delta HAC=\Delta ECA\Rightarrow AE=CH$ (1) (hai cạnh tương ứng)

$\Delta DAC$ có $\widehat{DAC}=\widehat{DCA}=30^o\Rightarrow\Delta DAC$ cân đỉnh D nên $AD=CD$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AE-AD=CH-CD$

$\Rightarrow DE=DH\Rightarrow\Delta DHE$ cân đỉnh D

$\Rightarrow\widehat{EHD}=\dfrac{180^o-\widehat{HDE}}2$

mà $\Delta DAC$ cân đỉnh D nên $\widehat{DCA}=\dfrac{180^o-\widehat{ADC}}2$

mà $\widehat{HDE}=\widehat{ADC} $ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow\widehat{EHD}=\widehat{DCA}$ $(=\dfrac{180^o-\widehat{HDE}}2=\dfrac{180^o-\widehat{ADC}}2)$ mà chúng ở vị trí so le trong nên $EH//AC$