Đáp án:

$a/$

`text{Xét ΔABH và ΔACH có :}`

`text{AB = AC (Vì ΔABC cân tại A)}`

`text{AH chung}`

`hat{BAH} = hat{CAH}` `text{(Vì AH là tia phân giác của góc A})`

`->` `text{ΔABH = ΔACH (cạnh - góc - cạnh)}`

`->` `text{HB = HC (2 cạnh tương ứng)}`

$\\$

$\\$

$b/$

`text{Vì ΔABC cân tại A}`

`text{AH là tia phân giác}`

`->` `text{AH là đường cao}`

$\\$ 

`text{Xét ΔIHC vuông tại H có :}`

`hat{HIC} + hat{HCI} = 90^o`

`-> hat{HIC} < 90^o`

$\\$

`text{Ta có :}` `hat{HIC} + hat{AIC} = 180^o` `text{(2 góc kề bù)}`

`text{mà}` `hat{HIC} < 90^o`

`-> hat{AIC} > 90^o` `text{hay}` `hat{AIC}` `text{là góc tù}`

$\\$

`text{Xét ΔAIC có :}`

`hat{AIC}` `text{là góc tù}`

`text{Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :}`

`text{CA là cạnh lớn nhất}`

`-> CA > CI`

$\\$

$\\$

$c/$

`text{Xét ΔABC có :}`

`text{AH là đường trung tuyến}`

`text{BD là đường trung tuyến}`

`text{AH cắt BD tại I}`

`->` `text{I là trọng tâm của ΔABC}`

`-> (IB)/(ID) = 2/1 = 2`

$\\$

$\\$

$d/$

`text{Gọi G giao của EH và FD (1)}`

$\\$

`text{Xét ΔFIE có :}`

`text{FD là đường trung tuyến}`

`text{EH là đường trung tuyến}`

`text{FD cắt EH tại G}`

`->` `text{G là trọng tâm của ΔFIE}`

$\\$

`text{Gọi M là giao của IC và FE}`

$\\$

`text{Xét ΔADI và ΔCDE có :}`

`hat{ADI} = hat{CDE}` `text{(2 góc đối đỉnh)}`

`text{DA =DC (Vì BD là đường trung tuyến)}`

`text{ID = ED (Vì D là trung điểm của EI)}`

`->` `text{ΔADI = ΔCDE (cạnh - góc - cạnh)}`

`->` `text{AI = EC (2 cạnh tương ứng)}`

`text{và}` `hat{DAI} = hat{DCE}` `text{(2 góc tương ứng)}`

$\\$
`text{Từ}` `hat{DAI} = hat{DCE}`

`text{mà 2 góc này ở vị trí so le trong}`

$→ AF//EC$

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{MIF}=\widehat{MCE}\\ \widehat{MFI}=\widehat{MEC}\end{array} \right.\) `text{(2 góc so le trong)}`

$\\$

`text{Vì I là trọng tâm của ΔABC}`

`-> AI = 2/3 AH`

`text{và}` `IH = 1/3 AH`

`text{mà H là trung điểm của IF}`

`-> IF = 2/3 AH`

`text{mà}` `AI = 2/3 AH`

`-> AI = IF`

`text{mà AI = EC (chứng minh trên)}`

`-> IF = EC`
$\\$

`text{Xét ΔIMF và ΔCME có :}`

`text{IF = EC (chứng minh trên)}`

`hat{MIF} = hat{MCE}` `text{(chứng minh trên)}`

`hat{MFI} = hat{MEC}` `text{(chứng minh trên)}`

`->` `text{ΔIMF = ΔCME (góc - cạnh  - góc)}`

`-> FM = EM` `text{(2 cạnh tương ứng)}`

`-> CI` `text{là đường trung tuyến}`

`-> CI` `text{đi qua G (2)}`

$\\$

`text{Từ (1) và (2)}`

`->` `text{CI,EH,FD đi qua một điểm}`