Vẽ trung tuyến $BE,CF$

$\to EF$ là đường trung bình của $\Delta ABC$

$\to EF=\dfrac{BC}{2}$

$B{{C}^{2}}=B{{G}^{2}}+C{{G}^{2}}$

$B{{C}^{2}}=\left( B{{F}^{2}}-G{{F}^{2}} \right)+\left( C{{E}^{2}}-G{{E}^{2}} \right)$

$B{{C}^{2}}=B{{F}^{2}}+C{{E}^{2}}-\left( G{{E}^{2}}+G{{F}^{2}} \right)$

$B{{C}^{2}}={{\left( \dfrac{AB}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \dfrac{AC}{2} \right)}^{2}}-E{{F}^{2}}$

$B{{C}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}+\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}-{{\left( \dfrac{BC}{2} \right)}^{2}}$

$B{{C}^{2}}=\dfrac{A{{B}^{2}}}{4}+\dfrac{A{{C}^{2}}}{4}-\dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$

$4B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}$

$5B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

Gọi:
$BG \cap AC=N$
$CG \cap AB=M$
$G$ trọng tâm:
$⇒CM,BN$ là hai đường trung tuyến
$⇒M,N$ là trung điểm của $AB,AC$
$⇒$ $\begin{cases} 2CN=AC\\2BM=AB\end{cases}$
$⇒$ $\begin{cases} 4CN^2=AC^2\\4BM^2=AB^2\end{cases}$
Có:
$BG=2GN ⇒ BG^2=4GN^2$
$CG=2GM⇒CG^2=4GM^2$
Ta có:
$AB^2+AC^2=4BM^2+4CN^2$
$⇔ AB^2+AC^2=4(BG^2+GM^2)+4(CG^2+GN^2)$ $(Pitago)$
$⇔AB^2+AC^2=4(BG^2+GC^2)+4GN^2+4GM^2$
$⇔AB^2+AC^2=4BC^2+BG^2+CG^2=4BC^2+BC^2=5BC^2$
$→$ đpcm