Đáp án:

$\sin 75{}^\circ =\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\cos 75{}^\circ =\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\tan 75{}^\circ =2+\sqrt{3}$

$\cot 75{}^\circ =2-\sqrt{3}$

Giải thích các bước giải:

Vẽ $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Trong đó, $\widehat{B}=75{}^\circ ,\widehat{C}=15{}^\circ $, $AB=1$

Trên cạnh $AC$ lấy $D$ sao cho $BD=DC$

$\to \Delta DBC$ cân tại $D$

$\to \widehat{DBC}=\widehat{C}=15{}^\circ $

$\to \widehat{ABD}=60{}^\circ $

$\to \cos \widehat{ABD}=\cos 60{}^\circ $ và $\tan \widehat{ABD}=\tan 60{}^\circ $

$\to \dfrac{AB}{BD}=\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{AD}{AB}=\sqrt{3}$

$\to BD=2AB=2$ và $AD=\sqrt{3}AB=\sqrt{3}$

Vậy $AC=DC+AD=BD+AD=2+\sqrt{3}$

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to BC=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2}}}$

$\to BC=\sqrt{8+4\sqrt{3}}$

$\to BC=\sqrt{{{\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)}^{2}}}$

$\to BC=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

Trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$ lần lượt có:

$AB=1$ , $AC=2+\sqrt{3}$ , $BC=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ , $\widehat{B}=75{}^\circ $

Vậy:

$\sin \widehat{B}=\sin 75{}^\circ =\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\cos \widehat{B}=\cos 75{}^\circ =\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\tan \widehat{B}=\tan 75{}^\circ =\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2+\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}$

$\cot \widehat{B}=\cot 75{}^\circ =\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$