Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác $ABC $ ta có:

$\dfrac{{NA}}{{NB}} = \dfrac{{CA}}{{CB}};\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}}$

$ \Rightarrow \dfrac{{NA}}{{NB}} = \dfrac{{MA}}{{MC}}\left( {do:AB = AC} \right)$

Mà $M\in AC;N\in AB$

$\to MN//BC$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat Achung\\
\widehat {ACN} = \widehat {ABM}\left( {do:\widehat {ABC} = \widehat {ACB}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ANC \sim \Delta AMB\left( {g.g} \right)
\end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{MA}}{{MC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{5}{6}\\
 \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{AC}} = \dfrac{5}{{11}}\\
 \Rightarrow MA = AC.\dfrac{5}{{11}} = \dfrac{{25}}{{11}}cm
\end{array}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;M \in AC;N \in AB;MN//BC\\
 \Rightarrow \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AC}}\\
 \Rightarrow MN = BC.\dfrac{{AM}}{{AC}} = 6.\dfrac{5}{{11}} = \dfrac{{30}}{{11}}cm
\end{array}$

Vậy $MA = \dfrac{{25}}{{11}}cm;MN = \dfrac{{30}}{{11}}cm$

d) Ta có:

Tương tự câu $c$ ta tính được: $AN = AM = \dfrac{{25}}{{11}}cm$

$\to \Delta AMN$ cân ở $A$.

Kẻ đường cao $AH\bot MN=H$

 $\to H$ là trung điểm của $MN$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta AHM;\widehat {AHM} = {90^0};AM = \dfrac{{25}}{{11}}cm;HM = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{{15}}{{11}}cm\\
 \Rightarrow AH = \sqrt {A{M^2} - H{M^2}}  = \dfrac{{20}}{{11}}cm
\end{array}$

Khi đó:

${S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}AH.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{20}}{{11}}.\dfrac{{30}}{{11}} = \dfrac{{300}}{{121}}c{m^2}$

Vậy ${S_{AMN}} = \dfrac{{300}}{{121}}c{m^2}$