a)

Ta có $\widehat{ABC}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$)

$\to \dfrac{\widehat{ABC}}{2}=\dfrac{\widehat{HAC}}{2}$

$\to \widehat{ABE}=\widehat{CAF}$

Mà $\widehat{CAF}+\widehat{BAF}=90{}^\circ $

$\to \widehat{ABE}+\widehat{BAF}=90{}^\circ $

$\to BE\bot AF$

b)

Gọi $G$ là giao điểm $CE$ và $CF$

Chứng minh tương tự câu a, ta có $CG\bot AE$

Xét $\Delta AEF$ có hai đường cao $EG,FG$ giao nhau tại $G$

$\to G$ là trực tâm của $\Delta AEF$

$\to AG\bot EF$

$\to AG$ là đường cao của $\Delta AMN$

Xét $\Delta ABC$ có hai đường phân giác $BG,CG$ cắt nhau tại $G$

$\to G$ là giao điểm ba đường phân giác của $\Delta ABC$

$\to AG$ là phân giác của $\widehat{BAC}$

$\to AG$ là đường phân của $\Delta AMN$

Xét $\Delta AMN$ có $AG$ vừa là đường cao, đường phân giác

$\to \Delta AMN$ cân tại $A$

Lại có $\widehat{MAN}=90{}^\circ $

$\to \Delta AMN$ vuông cân tại $A$

c)

$HE$ là phân giác $\widehat{AHB}\to \widehat{AHE}=45{}^\circ $

$\Delta AMN$ vuông cân tại $A\to \widehat{AME}=45{}^\circ $

$\to \widehat{AHE}=\widehat{AME}$

Xét $\Delta AME$ và $\Delta AHE$, ta có:

+   $\widehat{AHE}=\widehat{AME}\left( cmt \right)$

+   $\widehat{MAE}=\widehat{HAE}$ (vì $AE$ là phân giác)

$\to \widehat{AEM}=\widehat{AEH}$ (hai góc còn lại tương ứng bằng nhau)

Lại có: $AE$ là cạnh chung

Nên $\Delta AME=\Delta AHE\left( g.c.g \right)$

$\to AM=AH=3cm=AN$

Vậy ${{S}_{\Delta AMN}}=\dfrac{1}{2}AM.AN=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 3=4,5c{{m}^{2}}$