a)

Theo hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$, ta có:

+   $A{{H}^{2}}=BH.CH\to BH=\dfrac{A{{H}^{2}}}{CH}=\dfrac{{{6}^{2}}}{9}=4cm$

+   $BC=BH+CH=4+9=13cm$

+   $A{{B}^{2}}=BH.BC\to AB=\sqrt{4.13}=2\sqrt{13}cm$

+   $A{{C}^{2}}=CH.BC\to AC=\sqrt{9.13}=3\sqrt{13}cm$

b)

Xét $\Delta ACK$ vuông tại $A$

Ta có $\tan \widehat{AKC}=\dfrac{AC}{AK}$

$\to AK=\dfrac{AC}{\tan \widehat{AKC}}=\dfrac{3\sqrt{13}}{\tan 60{}^\circ }=\sqrt{39}cm$

c)

Ta có $MF//AC\left( gt \right)$

$\to \widehat{MFC}=\widehat{ACF}$ (hai góc so le trong)

Mà $\widehat{MCF}=\widehat{ACF}$ (vì $Cx$ là tia phân giác $\widehat{ACB}$)

$\to \widehat{MFC}=\widehat{MCF}$

$\to \Delta MFC$ cân tại $M$

$\to MF=MC$

Xét $\Delta AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$

Ta có $A{{H}^{2}}=AD.AB$ (hệ thức lượng)

Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HE$

$\to A{{H}^{2}}=AE.AC$ (hệ thức lượng)

$\to AD.AB=AE.AC$

$\to \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$

Lại có $\widehat{BAC}$ là góc chung

$\to \Delta ADE\sim\Delta ACB\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{ADE}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{AED}=\widehat{ABC}$

Mà:

$\widehat{ADE}=\widehat{MAC}$ (cùng phụ $\widehat{MAB}$)

$\widehat{AED}=\widehat{MAB}$ (cùng phụ $\widehat{MAC}$)

Nên: $\widehat{MAC}=\widehat{ACB}$ và $\widehat{MAB}=\widehat{ABC}$

$\to \Delta MAC$ cân tại $M$ và $\Delta MAB$ cân tại $M$

$\to MA=MC$ và $MA=MB$

$\to MB=MC$

$\to M$ là trung điểm $BC$ và $MB=MC=MF$

$\to M$ là trung điểm $BC$ và $MF=\dfrac{BC}{2}$

$\to \Delta BFC$ vuông tại $F$

$\to BF\bot Cx$