a)

Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $A$

$\to \widehat{B}=\widehat{C}=\dfrac{180{}^\circ -\widehat{A}}{2}=\dfrac{180{}^\circ -36{}^\circ }{2}=72{}^\circ $

Vì $CD$ là phân giác $\widehat{C}$

$\to \widehat{ACD}=\widehat{BCD}=\dfrac{\widehat{C}}{2}=\dfrac{72{}^\circ }{2}=36{}^\circ $

Ta có $\widehat{BDC}=180{}^\circ -\widehat{B}-\widehat{ABD}=180{}^\circ -72{}^\circ -36{}^\circ =72{}^\circ $

Vậy $\widehat{A}=\widehat{ACD}=32{}^\circ $ và $\widehat{B}=\widehat{BDC}=72{}^\circ $

$\to \Delta ACD$ cân tại $D$ và $\Delta BCD$ cân tại $C$

$\to AD=DC$ và $DC=BC$

$\to AD=DC=BC=1cm$

b)

Ta có $\Delta BKC$ vuông tại $K$

$\to \widehat{B}+\widehat{BCK}=90{}^\circ $

$\to \widehat{BCK}=90{}^\circ -\widehat{B}=90{}^\circ -72{}^\circ =18{}^\circ $

Ta có $\cos \widehat{B}=\dfrac{BK}{BC}$ và $\sin \widehat{B}=\dfrac{CK}{BC}$

$\to BK=BC.\cos \widehat{B}$ và $CK=BC.\sin \widehat{B}$

$\to BK=1.\cos 72{}^\circ \approx 0,31cm$ và $CK=1.\sin 72{}^\circ \approx 0,95cm$

c)

Xét $\Delta ADC$ cân tại $D$ có $DH$ là đường cao

$\to DH$ cũng là đường trung tuyến, đường phân giác

$\to HA=HC$

Xét $\Delta ADH$ vuông tại $H$

Ta có $\cos \widehat{A}=\dfrac{AH}{AD}=\dfrac{AH}{1}=AH$

Với $CD$ là phân giác của $\widehat{C}$

$\to \dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AC}{BC}$

$\to \dfrac{1}{AB-AD}=\dfrac{AC}{1}$

$\to AC\left( AB-AD \right)=1$

$\to AC\left( AC-1 \right)=1$

$\to 2AH\left( 2AH-1 \right)=1$

$\to 2\cos A\left( 2\cos A-1 \right)=1$

$\to 4{{\cos }^{2}}A-2\cos A=1$

$\to \cos A=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{4}$

Vì $\cos A=AH>0$

Nên $\cos A=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$