Giải thích các bước giải:

a.Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A\to \hat B=90^o-\hat C=60^o$

$\to \widehat{ABD}=\widehat{DBC}=\dfrac12\hat B=30^o$

Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, \hat B=60^o\to \Delta ABC$ là nửa tam giác đều

$\to BC=2AB=20, AC=AB\sqrt3=10\sqrt3$

Vì $\Delta ABD$ vuông tại $A, \widehat{ABD}=30^o$

$\to \Delta ABD$ là nửa tam giác đều

$\to AB=\dfrac{BD\sqrt3}2\to DB=\dfrac{2AB}{\sqrt3}=\dfrac{10}{\sqrt3}$

$\to AD=\dfrac12BD=\dfrac5{\sqrt3}$

b.Vì $BE, BM$ là phân giác $\hat B\to BE\perp BM\to BN\perp BM$

         $AN\perp BN, AM\perp BD$

$\to AMBN$ là hình chữ nhật

Xem lại đề: $?$ vị trí $E$ ở đâu

c.Gọi $AM\cap BC=K$

$\to\Delta ABK$ có đường cao $BM$ đồng thời là phân giác 

$\to \Delta ABK$ cân tại $B$

$\to M$ là trung điểm $BK$

Vì $AMBN$ là hình chữ nhật, $AB\cap MN=O$

$\to O$ là trung điểm $AB$

$\to OM$ là đường trung bình $\Delta ABK$

$\to OM//BK$

$\to OH//BC$

Lại có: $O$ là trung điểm $BA\to H$ là trung điểm $AC$

Ta có: $M, H$ là trung điểm $AK, AC\to MH$ là đường trung bình $\Delta AKC\to MH=\dfrac12KC$

Vì $\Delta ABK$ cân tại $B, \hat B=60^o\to\Delta ABK$ đều

$\to \widehat{KAC}=90^o-\widehat{KAB}=30^o=\hat C\to \Delta AKC$ cân tại $K\to KC=KA=KB$

$\to K$ là trung điểm $BC$

$\to KC=\dfrac12BC$

$\to KH=\dfrac14BC$

Mà $MH//BC\to \dfrac{DH}{DC}=\dfrac{MH}{BC}=\dfrac14$

$\to DC=4DH$

$\to DC-DH=3DH$

$\to HC=3DH$