Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ADB} = \widehat {AEC} = {90^0}\\
AB = AC\\
\widehat Achung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACE\left( {ch - gn} \right)
\end{array}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {BEC} = \widehat {CDB} = {90^0}\\
BCchung\\
\widehat {EBC} = \widehat {DCB}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta BEC = \Delta CDB\left( {ch - gn} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {BCE} = \widehat {CBD}\\
 \Rightarrow \widehat {HCB} = \widehat {HBC}\\
 \Rightarrow \Delta HBC \text{cân ở H}
\end{array}$

c) Ta có:

$\Delta HBC \text{cân ở H}$

$\to HB=HC$

Xét tam giác $HCD$ vuông ở $D$

$\to HD<HC$ (Do $HC$ là cạnh huyền)

$\to HD<HB$

d) Bạn xem lại đề: Nếu như dữ kiện đề bài thì $3$ đường $AH,BN,CM$ đôi một song song. Nếu có góc $A$ bằng $90^0$ thì những kết luận ở câu $a,b,c$ không chính xác nhưng với câu $d$ thì chính xác, khi đó 3 đường đồng quy tại $A$

Ta có:

$HN=HC=HB$

$\to \Delta HBN$ cân ở $H$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {HBN} = \widehat {HNB}\\
 \Rightarrow \widehat {NBC} = \widehat {HBN} + \widehat {HBC} = \widehat {HNB} + \widehat {HCB}\\
 \Rightarrow \widehat {NBC} = \widehat {CNB} + \widehat {NCB}\\
 \Rightarrow \widehat {NBC} = \dfrac{{\widehat {NBC} + \widehat {CNB} + \widehat {NCB}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\\
 \Rightarrow NB \bot BC
\end{array}$

Hoàn toàn tương tụ ta có: $MC\bot BC$

Lại có:

$CE\bot AB; BD\bot AC; CE\cap BD=H$

$\to H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

$\to AH\bot BC$

Như vậy:

$3$ đường $AH,BN,CM$ đôi một song song với nhau (vì cùng vuông góc với $BC$)