a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ACN$ vuông tại $N$

Ta có $A{{C}^{2}}=A{{N}^{2}}+C{{N}^{2}}$

$\to A{{N}^{2}}=A{{C}^{2}}-C{{N}^{2}}$

$\to AN=\sqrt{{{12}^{2}}-9,{{6}^{2}}}=7,2cm$

Ta có $A{{N}^{2}}=BN.CN$ (hệ thức lượng)

$\to BN=\dfrac{A{{N}^{2}}}{CN}=\dfrac{7,{{2}^{2}}}{9,6}=5,4cm$

b)

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AN$

$\to B{{A}^{2}}=BN.BC$ (hệ thức lượng)

Xét $\Delta ABK$ vuông tại $A$, đường cao $AD$

$\to B{{A}^{2}}=BD.BK$ (hệ thúc lượng)

$\to BN.BC=BD.BK$

$\to \dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BN}{BK}$

Xét $\Delta BDN$ và $\Delta BCK$, ta có:

+   $\widehat{DBN}$ là góc chung

+   $\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BN}{BK}\left( cmt \right)$

$\to \Delta BDN\sim\Delta BCK\left( c.g.c \right)$

c)

Ta có:

+   $\widehat{MCI}+\widehat{MIC}=90{}^\circ $

+   $\widehat{MIC}=\widehat{AIN}$

+   $\widehat{AIN}+\widehat{IAN}=90{}^\circ $

+   $\widehat{IAN}=\widehat{MAC}$

$\to \widehat{MCI}=\widehat{MAC}$

Xét $\Delta MCI$ và $\Delta MAC$, ta có:

+   $\widehat{CMI}$ là góc chung

+   $\widehat{MCI}=\widehat{MAC}\left( cmt \right)$

$\to \Delta MCI\sim\Delta MAC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{CI}{AC}=\dfrac{MI}{MC}$

$\to CI.MC=AC.MI$

$\to C{{I}^{2}}.M{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}.M{{I}^{2}}$

$\to C{{I}^{2}}.M{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}.\left( C{{I}^{2}}-M{{C}^{2}} \right)$

$\to C{{I}^{2}}.M{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}.M{{C}^{2}}=A{{C}^{2}}.C{{I}^{2}}$

$\to M{{C}^{2}}\left( C{{I}^{2}}+A{{C}^{2}} \right)=A{{C}^{2}}.C{{I}^{2}}$

$\to \dfrac{C{{I}^{2}}+A{{C}^{2}}}{A{{C}^{2}}.C{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{C}^{2}}}$

$\to \dfrac{1}{A{{C}^{2}}}+\dfrac{1}{C{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{M{{C}^{2}}}$