a/ \(-x^2+4x-9\\=-x^2+4x-4-5\\=-(x^2-4x+4)-5\\=-(x-2)^2-5\\Vì\,\,-(x-2)^2≤0∀x\\→-(x-2)^2-5≤-5\)

b/ \(x^2-2x+9\\=(x^2-2x+1)+8=(x-1)^2+8\\Vì\,\, (x-1)^2≥0\\→(x-1)^2+8≥8\)

c/ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với số dương:

\(a+b\ge 2\sqrt{ab}\\\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge 2\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)

Nhân các vế của bất đẳng thức ta được:

\( (a+b)(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})\ge 2\sqrt{ab}.2\dfrac{1}{\sqrt{ab}}=4\)

d/ \(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\\=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{b}\\=(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a})+(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b})\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các số dương

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}≥2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\\\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}≥2\\\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}≥2\)

Cộng các vế bất đẳng thức ta được:

\(D≥2+2+2=6\)