Đáp án:

$a/$

Xét `ΔBAC` và `ΔDAC` có :

`hat{BAC} = hat{DAC} = 90^o`

`AC` chung

`AB = AD` (Vì `A` là trung điểm của `BC`)

`-> ΔBAC = ΔDAC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BC = CD` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

$b/$

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có `AM` là đường trung tuyến

`-> AM = 1/2 BC`

`⇔ BC = 2AM`

mà `BC = CD` (chứng minh trên)

`-> CD = 2AM`

$\\$

$\\$
$c/$

Xét `ΔBDC` có :

`DM` là đường trung tuyến

`AE = 1/3 AC`

`-> E` là trọng tâm của `ΔBDC`

`-> DM` đi qua `E`

`-> D,E,M` thẳng hàng

$\\$

$\\$

$d/$

Ta có : `M` là trung điểm của `BC`

`-> BM = 1/2BC`

mà `AM = 1/2BC` (chứng minh trên)

`->BM = AM`

Xét `ΔBMD` có :

`DM + BM > BD` (BĐT trong `Δ`)

mà `BM = AM, AM = 1/2 DC` (chứng minh trên)

`-> DM + 1/2CD > BD`

Đáp án:

a/a/

Xét ΔBACΔBAC và ΔDACΔDAC có :

ˆBAC=ˆDAC=90oBAC^=DAC^=90o

ACAC chung

AB=ADAB=AD (Vì AA là trung điểm của BCBC)

→ΔBAC=ΔDAC→ΔBAC=ΔDAC (cạnh - góc - cạnh)

→BC=CD→BC=CD (2 cạnh tương ứng)

b/b/

Xét ΔABCΔABC vuông tại AA có AMAM là đường trung tuyến

→AM=12BC→AM=12BC

⇔BC=2AM⇔BC=2AM

mà BC=CDBC=CD (chứng minh trên)

→CD=2AM→CD=2AM

c/c/

Xét ΔBDCΔBDC có :

DMDM là đường trung tuyến

AE=13ACAE=13AC

→E→E là trọng tâm của ΔBDCΔBDC

→DM→DM đi qua EE

→D,E,M→D,E,M thẳng hàng

d/d/

Ta có : MM là trung điểm của BCBC

→BM=12BC→BM=12BC

mà AM=12BCAM=12BC 

→BM=AM→BM=AM

Xét ΔBMDΔBMD có :

DM+BM>BDDM+BM>BD (BĐT trong ΔΔ)

mà BM=AM,AM=12DCBM=AM,AM=12DC 

→DM+12CD>BD