a) Gọi $R, r$ lần lượt là bán kính của $(O)$ và $(I)$

$r = IA = \dfrac12OA = \dfrac12R$

$\Rightarrow R - r = \dfrac12R$

Ta có:

$OI = \dfrac12OA = \dfrac12R = R - r$

Do đó $(O)$ và $(I)$ tiếp xúc trong

Xét đường tròn tâm $I$ có:

$\widehat{ACO} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow OC\perp AC$

$\Rightarrow OC\perp AD$

Xét đường tròn tâm $O$ có:

$OC\perp AD$

$\Rightarrow CA = CD = \dfrac12AD$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)

Xét $\triangle AOD$ có:

$CA = CD = \dfrac12AD\quad (cmt)$

$IA = IO = \dfrac12R$

$\Rightarrow IC$ là đường trung bình

$\Rightarrow IC//OD$

b) Xét đường tròn tâm $I$ có:

$\widehat{CAE} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{DAF} = 90^\circ$

Xét đường tròn tâm $O$ có:

$\widehat{ADB} = \widehat{AFB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác $ADBF$ có:

$\widehat{ADB} = \widehat{AFB} = \widehat{DAF} = 90^\circ$

Do đó $ADBF$ là hình chữ nhật

Lại có: $O$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow O$ là trung điểm $DF$

hay $D,O,F$ thẳng hàng