a) Đặt $g(x)=f(x)-f(x+1)$

Có $g(0)=f(0)-f(1)$

$g(1)=f(1)-f(2)=f(1)-f(0)( f(0)=f(2))$

$\Rightarrow g(0).g(1)=-{(f(1) - f(0))^2}<0$

Có $f(x)$ liên tục trên $[0;2]$ $\Rightarrow g(x)$ liên tục trên $[0;1]$

Vậy $g(x)$ luôn có nghiệm thuộc $[0;1]$

b)

Gọi $ M\left( {{x_0};\dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}} \right) \in (C);{x_0} \ne - 1 \\ {y_M}' = \left( {\dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}}} \right)' = \dfrac{{ - 1}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} \\ $

Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là:

$ y = \dfrac{{ - 1}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}(x - {x_0}) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} + 1}} \\ (d) \cap Ox \\ y = 0 \Rightarrow x = {x_0}^2 + 4{x_0} + 2 \\ A({x_0}^2 + 4{x_0} + 2;0) \\ (d) \cap Oy \\ x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{{x_.}{{_0}^2} + 4{{\text{x}}_0} + 2}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} \\ B\left( {0;\dfrac{{{x_.}{{_0}^2} + 4{{\text{x}}_0} + 2}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} \right) \\ $

Vì tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ tạo với hai trục toạ độ một tam giác vuông cân

$ OA = OB \\ \Leftrightarrow {x_0}^2 + 4{x_0} + 2 = \dfrac{{{x_.}{{_0}^2} + 4{{\text{x}}_0} + 2}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0}^2 + 4{x_0} + 2 = 0} \\ {\dfrac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = 1} \end{array}} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_0} = - 2 + \sqrt 2 } \\ {{x_0} = - 2 - \sqrt 2 } \\ {{x_0} = 0} \\ {{x_0} = - 2} \end{array}} \right.(TM) \\ M( - 2 + \sqrt 2 ;2 + \sqrt 2 );M( - 2 - \sqrt 2 ;2 - \sqrt 2 );M(0;2);M( - 2;0) \\ $