Giải thích các bước giải:

 Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
MIchung\\
\widehat {MIE} = \widehat {MID} = {90^0}\\
IE = ID
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta MIE = \Delta MID\left( {c.g.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {MDI}\\
 \Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {BDI}\\
 \Rightarrow ME//BD\left( 1 \right)
\end{array}$

Lại có:

$DM = \dfrac{1}{2}BC = DB = DC$

$ \Rightarrow \Delta DBM$ cân ở $D$ và $\Delta DMC$ cân ở $D$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \widehat {DMB} = \widehat {DBM};\widehat {DMC} = \widehat {DCM}\\
 \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {DMB} + \widehat {DMC} = \widehat {DBM} + \widehat {DCM}\\
 \Rightarrow \widehat {BMC} = \dfrac{{\widehat {BMC} + \widehat {DBM} + \widehat {DCM}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\\
 \Rightarrow CM \bot AB = M
\end{array}$

Mặt khác:

$AD\bot BC=D; CM\cap AD=H$

$\to H$ là trực tâm của tam giác $ABC$

$\to BN\bot AC=N$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {AMC} = \widehat {ANB} = {90^0}\\
AC = AB\\
\widehat Achung
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta AMC = \Delta ANB\left( {ch - gn} \right)\\
 \Rightarrow AM = AN\\
 \Rightarrow \Delta AMN \text{cân ở A}
\end{array}$

$ \Rightarrow \widehat {AMN} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$

Mà $\Delta ABC$ cân ở $A$$ \Rightarrow \widehat {ABC} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat A}}{2}$

$ \Rightarrow MN//BC\left( 2 \right)$

Từ $(1),(2)\to E,M,N$ thẳng hàng.