Gọi $AD$ là đường kính của $(O)$

$\Rightarrow \widehat{ABD} = \widehat{ACD} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \begin{cases}BD\perp AB\\CD\perp AC\end{cases}$

Do $M,N$ đối xứng $B,C$ qua $E,F$

nên $\begin{cases}BM\perp AC\\CN\perp AB\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}BD//CN\\CD//BM\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{DBI} = \widehat{CNI}\quad \text{(đồng vị)}\\\widehat{DBC} = \widehat{DCN}\quad \text{(so le trong)}\end{cases}$

Ta lại có: $\widehat{CNI} = \widehat{DCN}$ (tính chất đối xứng)

nên $\widehat{DBI} = \widehat{DBC}$

$\Rightarrow BD$ là phân giác trong của $\widehat{IBC}$

Mặt khác: $BD\perp AB\quad (cmt)$

$\Rightarrow AB$ là phân giác ngoài của $\widehat{IBC}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$CD$ là phân giác trong của $\widehat{ICB}$

$AC$ là phân giác ngoài của $\widehat{ICB}$

Do $BD\cap CD = \{D\}$

nên $D$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle IBC$

$\Rightarrow ID$ là phân giác trong của $\widehat{BIC}\quad (1)$

Do $AB\cap AC = \{A\}$

nên $A$ là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh $BC$ của $\triangle IBC$

$\Rightarrow IA$ là phân giác trong của $\widehat{BIC}\quad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow A,D,I$ thẳng hàng

Ta lại có: $A, O, D$ thẳng hàng $(AD$ là đường kính của $(O))$

nên $A,O,I$ thẳng hàng