a)

Áp dụng định lý Pytago trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

Ta có $B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}={{5}^{2}}+{{12}^{2}}$

$\to B{{C}^{2}}=169$

$\to BC=13cm$

b)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta DBE$, ta có:

+   $AB=DB\left( gt \right)$

+   $\widehat{ABE}=\widehat{DBE}=90{}^\circ $

+   $BE$ là cạnh chung

$\to \Delta ABE=\Delta DBE\left( c.g.c \right)$

$\to AE=DE$ (hai cạnh tương ứng)

$\to \Delta AED$ cân tại $E$

c)

Xét $\Delta ABK$ vuông tại $K$ và $\Delta DBF$ vuông tại $F$, ta có:

+   $AB=DB\left( gt \right)$
+   $\widehat{ABK}=\widehat{DBF}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta ABK=\Delta DBF\left( ch-gn \right)$

$\to BK=BF$ (hai cạnh tương ứng)

$\to B$ là trung điểm $KF$

d)

Ta có $\Delta AED$ cân tại $E$

$\to \widehat{EAD}=\widehat{EDA}$

Mà $\widehat{EAD}+\widehat{EAC}=90{}^\circ $

Và $\widehat{EDA}+\widehat{ECA}=90{}^\circ $

$\to \widehat{EAC}=\widehat{ECA}$

$\to \Delta AEC$ cân tại $E$

$\to AE=CE$

$\to DE=CE$

$\to E$ là trung điểm $CD$