Đáp án:

a) Áp đụng dịnh lý Pythagoras ta có:

$BC^2=AB^2+AC^2$

$\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2$

$\Rightarrow AC=\sqrt{BC^2-AB^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{10^2-6^2}$

$\Rightarrow AC=\sqrt{64}$

$\Rightarrow AC=8(cm)$.

b) $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$

$\Rightarrow M$ là trung điểm của $BC\Rightarrow BM=MC$.

Xét hai tam giác $\Delta ABD$ và $\Delta CDE$ có:

$BM=MC$ (chứng minh trên).

$\widehat{ADB}=\widehat{CDE}$ (cặp góc đối đỉnh).

$AM=MD$ (giả thiết).

$\Rightarrow\Delta ABD=\Delta CDE$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow AB=CD$ (hai cạnh tương ứng)*.

$\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MCD}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AB//CD$ (cặp góc so le trong).

c) Xét hai tam giác $\Delta BDM$ và $\Delta ACM$ có:

$BM=MC$ (chứng minh trên).

$\widehat{BMD}=\widehat{AMC}$ (cặp góc đối đỉnh).

$AM=MD$ (giả thiết).

$\Rightarrow\Delta BDM=\Delta ACM$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{CAM}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AC=BD$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AC=8$ nên $BD=8(cm)\Rightarrow BD>AB(6<8)$

$\Rightarrow\widehat{BAD}>\widehat{ADB}$ (quan hệ giữa góc-cạnh đối diện).

Mà $M\in AD\Rightarrow\widehat{BAM}>\widehat{BDM}$.

Mà $\widehat{BDM}=\widehat{CAM}$ nên $\widehat{BAM}>\widehat{CAM}$.

d) $H$ là trung điểm của $BM\Rightarrow BH=HM$.

Xét hai tam giác $\Delta ABH$ vầ $\Delta HME$ có:

$BH=MH$ (chứng minh trên).

$\widehat{AHB}=\widehat{MHE}$ (cặp góc đối đỉnh).

$AH=HE$ (giả thiết).

$\Rightarrow\Delta ABH=\Delta HME$ (cạnh-góc-cạnh).

$\Rightarrow\widehat{ABH}=\widehat{MEH}$ (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow AB//EM$ (cặp góc so le trong).

Mà $AB\,\bot\,AC$ ($\Delta ABC$ vuông tại $A$)

$\Rightarrow EM\,\bot\,AC$ (từ vuông góc đến song song).

`a)`

Xét `\Delta ABC` vuông tại `A` có `AB = 6` cm `, BC = 10` cm ta được `:`

`6^2 + AC^2 = 10^2`

`AC^2 = 10^2 - 6^2`

`AC =`  `\sqrt{10^2 - 6^2}`

`AC =` `8`

Vậy `AC = 8` cm `.`

`b)`

Xét `\Delta ACM` và `\Delta DBM` ta có `:`

`{( CM = MB \text{( AM là đường trung tuyến (M \in  BC)} ),( Am = MD \text{(gt)}),( hat{ ACM } = hat{ DBM } \text{( 2 góc đối đỉnh )}):}`

`=> \Delta ACM` `=` `\Delta DBM` `(c.g.c)`

`=> AC=BD` `(1)`

Xét `Δ CMD` và `Δ BMA` ta có `:`

`{( CM = MB \text{( AM là đường trung tuyến (M \in  BC)} ),( Am = MD \text{(gt)}),( hat{ CMD } = hat{ BMA } \text{( 2 góc đối đỉnh )}):}` 

`=> Δ CMD` `=` `Δ BMA` `(c.g.c)`

`=> AB = CD ( 2)`

Từ `(1);(2)⇒ ABCD` là hình chữ nhật `=> AB //// CD`

`c)`

Do `AB < AC` `(` $gt$ `)`

`=> hat{ MBA } < hat{ MCA }`

Do `AB //// CD` `⇒ hat{ MAB } < hat{ MAC}`

Cộng `2` vế lại ta được `:`

`hat{ MBA }  + hat{ MAB } < hat{ MCA } + hat{ MAC}`

Xét `Δ ACM` và `Δ AM` ta có `:`

`{( hat{ MBA }  + hat{ MAB } + hat{ BAM } = 180^o ),( hat{ MCA } + hat{ MAC} + hat{ CAM }):}`

`=> hat{ MBA }  + hat{ MAB } + hat{ BAM } = hat{ MCA } + hat{ MAC} + hat{ CAM}`

Do `hat{ MBA }  + hat{ MAB } < hat{ MCA } + hat{ MAC}`

`=> hat{ BAM } > hat{ CAM }`

`d)`

Gọi `EM \cap AC = F`

Xét `\Delta MHE` và `\Delta BHA` ta có `:`

`{( AH = HE \text{(gt)}),( MH = BH \text{( H là trung điểm của BM )}),( hat{ MHE}=hat{ BHA} \text{(2 góc đối đỉnh )}):}`

`=>` `\Delta MHE` `=` `\Delta BHA` `(c.g.c)`

`=> hat{ MFH } = hat{ BAH } ( 2` góc tương ứng `)`

Mà `hat{ MFH } ; hat{ BAH }` là `2` góc so le trong `.`

`=> EM //// AB` hay `EF //// AB` `(1)`

Và `AC \bot AB ( \Delta ABC` vuông tại `A )` `(2)`

Từ `(1);(2) => EM \bot AC`