a, BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEA}=\widehat{BEC}=90°$ Hay $\widehat{HEA}=\widehat{HEC}=90°$

CF ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{CFB}=\widehat{CFA}=90°$ Hay $\widehat{HFB}=\widehat{HFA}=90°$

AD ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90°$ Hay $\widehat{HDB}=\widehat{HDC}=90°$

Có $\widehat{BEC}=\widehat{CFB}=90°$

⇒ Hai điểm E và F cùng nhìn BC dưới một góc vuông

⇒ Hai điểm E và F cùng thuộc đường tròn đường kính BC

⇒ Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC

⇒ Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn đường kính BC

Xét tứ giác AEHF có: $\widehat{HEA}+\widehat{HFA}=90°+90°=180°$

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH

b, Xét ΔAEB vuông tại E ($\widehat{BEA}=90°$) có:

$\widehat{BAE}+\widehat{ABE}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\widehat{BAC}+\widehat{ABM}=90°$

Xét ΔAFC vuông tại F ($\widehat{CFA}=90°$) có:

$\widehat{CAF}+\widehat{ACF}=90°$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay $\widehat{BAC}+\widehat{ACN}=90°$

Mà $\widehat{BAC}+\widehat{ABM}=90°$ (cmt)

⇒ $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$

Xét (O) có:

$\widehat{ABM}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AM}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{AM}$)

$\widehat{ACN}=\frac{1}{2}sđ\overparen{AN}$ (góc nội tiếp chắn $\overparen{AN}$)

$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (cmt)

⇒ $\overparen{AM}=\overparen{AN}$ ⇒ AM = AN

⇒ A thuộc trung trực của MN

Xét (O) có: OM = ON = R

⇒ O thuộc trung trực của MN

⇒ AO là trung trực của MN ⇒ AO ⊥ MN

Xét ΔAFH và ΔADB có:

$\widehat{HFA}=\widehat{ADB}=90°$

$\widehat{BAC}$ : góc chung

⇒ ΔAFH ~ ΔADB (g.g)

⇒ $\frac{AF}{AD}=\frac{AH}{AB}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ AH.AD=AF.AB (*)

Xét ΔBHF và ΔBAE có:

$\widehat{HFB}=\widehat{BEA}=90°$

$\widehat{ABE}$ : góc chung

⇒ ΔBHF ~ ΔBAE (g.g)

⇒ $\frac{BH}{AB}=\frac{BF}{BE}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ BH.BE=BF.AB (**)

Từ (*) và (**) ⇒ AH.AD+BH.BE=AF.AB+BF.AB=AB.(AB+BF)=AB.AB=AB²

c, Kẻ đường kính KP của (O)

Xét (O), đường kính KP có: C ∈ (O) ⇒ $\widehat{KCP}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ CK ⊥ CP (1)

J là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔAIC (gt) ⇒ JI = JC

Xét ΔJIC có: JI = JC (cmt)

⇒ ΔJIC cân tại J

⇒ $\widehat{JCI}=\frac{180°-\widehat{IJC}}{2}$

Xét (J) có:

$\widehat{IJC}=sđ\overparen{IC}$ (góc ở tâm chắn $\overparen{IC}$)

$\widehat{IAC}=\frac{1}{2}sđ\overparen{IC}$ (góc ở tâm chắn $\overparen{IC}$)

⇒ $\widehat{IJC}=2.\widehat{IAC}$

⇒ $\widehat{JCI}=\frac{180°-2.\widehat{IAC}}{2}=90°-\widehat{IAC}$

Xét (O) có: $\widehat{BAK}=\widehat{BCK}$ (hai góc nội tiếp chắn $\overparen{BK}$)

Hay $\widehat{IAB}=\widehat{ICK}$ 

Mà $\widehat{IAB}=\widehat{IAC}$ (AI là phân giác $\widehat{BAC}$) 

⇒ $\widehat{IAC}=\widehat{ICK}$ 

⇒ $\widehat{JCI}=90°-\widehat{ICK}$

⇒ $\widehat{JCI}+\widehat{ICK}=90°$

⇒ $\widehat{JCK}=90°$

⇒ JC ⊥ CK (2)

Từ (1) và (2) ⇒ P, J, C thẳng hàng

⇒ KO cắt CJ tại P nằm trên (O)