Đáp án:

CM tam giác ABC vuông dựa vào gt để bỏ bớt cosA trong T và dùng bđt AM-GM 

Giải thích các bước giải:

$\operatorname{cos}B+\operatorname{cos}C = \frac{b+c}{a}$ 

$\leftrightarrow \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{b+c}{a} $

$\leftrightarrow bc^2+a^2b-b^3+ca^2+b^2c-c^3-2bc(b+c)=0 \\ \leftrightarrow bc^2+a^2b-b^3+ca^2+b^2c-c^3-2b^2c-2bc^2=0\\ \leftrightarrow a^2b-b^3+ca^2-c^3-b^2c-bc^2=0\\ \leftrightarrow a^2(b+c)-bc(b+c)-(b+c)(b^2-bc+c^2)=0\\ \leftrightarrow (b+c)(a^2-bc-b^2+bc-c^2)=0\\ \leftrightarrow (b+c)(a^2-b^2-c^2)=0\\ \leftrightarrow a^2-b^2-c^2=0 \leftrightarrow a^2=b^2+c^2$

Suy ra Tam giác ABC vuông tại A. Khi đó:

$T = \operatorname{cos}A+\operatorname{cos}B+\operatorname{cos}C = \operatorname{cos}B+\operatorname{cos}C = \frac{b+c}{a}$

Xét:

$T^2 = \frac{(b+c)^2}{a^2}\leq \frac{2(b^2+c^2)}{b^2+c^2} = 2 \rightarrow T \leq \sqrt{2}$

Dấu "=" xảy ra khi b = c hay tam giác ABC vuông cân tại A