`a)` $AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$

`=>\hat{ABO}=90°`

 $\quad AC$ là tiếp tuyến tại $C$ của $(O)$

`=>\hat{ACO}=90°`

`=>\hat{ABO}+\hat{ACO}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{ABO};\hat{ACO}` ở vị trí đối nhau 

`=>ABOC` nội tiếp 

`=>4` điểm $A;B;O;C$ cùng thuộc $1$ đường tròn 

$\\$

`b)` Ta có:

`\hat{ACB}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BC}` (góc tạo bởi tiếp $AC$ và dây cung $BC$)

`\hat{CNB}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BC}`(góc nội tiếp chắn cung $BC$)

`=>\hat{ACB}=\hat{CNB}`

$\\$

Xét $∆ABM$ và $∆ANB$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{ABM}=\hat{ANB}` (cùng chắn cung $BM$)

`=>∆ABM∽∆ANB` (g-g)

`=>{AB}/{AN}={AM}/{AB}`

`=>AB^2=AM.AN`

$\\$

`c)` Sửa đề c/m $∆AHB;∆AHC$ cân

$\\$

Vì $OM=ON=R$

`=>∆OMN` cân tại $O$

$\quad E$ là trung điểm $MN$ (gt)

`=>OE` là trung tuyến $∆OMN$

`=>OE` đồng thời là đường trung trực của $MN$

Vì `K\in OE`

`=>KM=KN`

`=>\stackrel\frown{KM}=\stackrel\frown{KN}` (liên hệ dây và cung)

Ta có:

`\hat{AHB}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{BM}+sđ\stackrel\frown{KN})=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{BM}+sđ\stackrel\frown{KM})=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BK}` (góc có đỉnh bên trong đường tròn)

Ta lại có:

`\hat{ABH}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BK}` (góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)

`=>\hat{AHB}=\hat{ABH}`

`=>∆ABH` cân tại $A$

`=>AB=AH`

Mà `AB;AC` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$

`=>AB=AC`

`=>AC=AH`

`=>∆AHC` cân tại $A$

$\\$

`d)` Vì $AB=AC$ và $OB=OC=R$

`=>OA` là trung trực của $BC$

 Gọi $D$ là giao điểm của $OA$ và $BC$

`=>OA`$\perp BC$ tại $D$

$\\$

Xét $∆OAC$ vuông tại $C$ có $CD\perp OA$

`=>OC^2=OA.OD` (hệ thức lượng)

`=>ON^2=OA.OD` (vì $ON=OC=R$) $(1)$

$\\$

Vì $OE$ là trung trực của $MN$ (câu c)

`=>OE`$\perp MN$ tại $E$

`=>\hat{OEA}=90°` và `\hat{OEN}=90°`

$\\$

Xét $∆OAE$ và $∆OFD$ có:

`\qquad \hat{O}` chung

`\qquad \hat{OEA}=\hat{ODF}=90°`

`=>∆OAE∽∆OFD` (g-g)

`=>{OA}/{OF}={OE}/{OD}`

`=> OE.OF=OA.OD` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>ON^2=OE.OF`

`=>{ON}/{OE}={OF}/{ON}`

Xét $∆ONF$ và $∆OEN$ có:

`\qquad \hat{O}` chung

`\qquad {ON}/{OE}={OF}/{ON}` (c/m trên)

`=>∆ONF∽∆OEN` (c-g-c)

`=>\hat{ONF}=\hat{OEN}=90°` 

`=>FN`$\perp ON$

`=>FN` là tiếp tuyến tại $N$ của $(O)$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Mk gửi đáp án