Đáp án:

 4. 

a, Xét `Δ AHB` và `Δ CDA` có :

         `∠ AHB = ∠ CDA (= 90^{o})`

         `∠ HAB = ∠ ACD` $( so - le - trong$  `, AB║ CD)`

`-> Δ AHB ~ Δ CDA (g.g)`

b, Áp dụng định lí Py-ta-go vào `Δ ABC ⊥ ` ở `B` ta có : 

     `AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 100`

`-> AC = 10 (cm)`

Xét `Δ BHC` và `Δ ABC` có : 

      `∠ BHC = ∠ ABC (= 90^{o})`

            `∠ ACB ( góc chung)`

`-> Δ BHC ~ Δ ABC (g.g)`

`->( BC)/(AC )=( HC)/(BC )-> HC = (BC^2)/(AC )= 6^2/10 = 3,6 (cm)`

c, Gọi `K` là trung điểm của `BH` .

Xét `Δ AHB` có `M` là trung điểm của `AH` ; `K` là trung điểm của `BH`

`-> MK` là đường trung bình của `Δ AHB`

`-> MK = 1/2 AB ; MK ║ AB (1)`

Mặt khác : `N` là trung điểm của `CD -> CN = 1/2 CD`

mà `CD = AB , CD ║ AB`

`-> CN = 1/2 AB ; CN ║ AB (2)`

Từ `(1)(2) -> CN = MK , CN ║ MK`

`-> MNCK` là hình bình hành

`-> MN ║ CK (3)`

Mặt khác : ` CN ║ MK` mà `CN ⊥ BC -> MK ⊥ BC`

`-> K` là trực tâm của ` Δ BMC`

`-> CK ⊥ BM (4)`

Từ `(3)(4) -> MN ⊥ BM -> Δ BMN` vuông ở `M`

5.

Áp dụng BĐT ` Cô si ` ta có : 

`a^2/(b + c) + (b+  c)/4 >= 2\sqrt{a^2/(b + c) . (b + c)/4} = a`

`b^2/(c + a) + (c + a)/4 >= 2\sqrt{b^2/(c + a) . (c + a)/4} = b`

`c^2/(a + b) + (a + b)/4 >= 2\sqrt{c^2/(a + b) . (a + b)/4} = c`

Cộng vế theo vế ta có : 

`a^2/(b + c) + b^2/(c + a) + c^2/(a+  b) + (a + b + c)/2 >= a + b + c`

`-> a^2/(b + c) + b^2/(c + a) + c^2/(a+  b)  ≥ a + b + c-  (a + b + c)/2`

`-> a^2/(b + c) + b^2/(c + a) + c^2/(a+  b)  ≥ (a + b + c)/2`

`-> đ.p.c.m`

Dấu "=" xảy ra `<=> a = b = c`

Giải thích các bước giải:

Đặt b+c=x , c+a=y , a+b=z => a+b+c=(x+y+z)/2 
=> a=(y+z-x)/2 và b=(x+z-y)/2 và c=(x+y-z)/2 

VT = a/(a+b) +b/(b+c) +c/(c+a) 
=(y+z-x)/(2x) + (x+z-y)\(2y) + (x+y-z)/(2z) 
=(y/x + z/x -1+ x/y + z/y -1+ x/z + y/z -1 )/2 
=( y/x+ z/x + x/y + z/y + x/z + y/z -3 )/2 

Áp dụng Bđt cô si (3 lần cho 3 cặp nghich đảo) 
( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) >= 2x3 =6 <=> 
( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) -3 >= 3<=> 
[( y/x + x/y ) + (z/y + y/z) + (x/z+ z/x) -3]/2 >= 3/2<=> 
VT >= 3/2 
Dấu = xảy ra khi: x=y=z <=> a=b=c