`a)` Ta có:

`\hat{HBI}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AN}` (góc nội tiếp chắn cung $AN$)

`\hat{HMI}=1/ 2 sđ \stackrel\frown{CN}` (góc nội tiếp chắn cung $CN$)

Vì $N$ là điểm chính giữa cung $AC$

`=>\stackrel\frown{AN}=\stackrel\frown{CN}`

`=>\hat{HBI}=\hat{HMI}`

`=>BMHI` nội tiếp (vì có 2 đỉnh kề nhau $B;M$ cùng nhìn cạnh $HI$ dưới hai góc bằng nhau)

$\\$

`b)` Vì $M$ là điểm chính giữa cung $AB$

`=>\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{BM}`

Áp dụng tính chất góc có đỉnh bên trong đường tròn ta có:

`\qquad \hat{AHK}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{AN}+sđ\stackrel\frown{BM})=1/ 2(sđ\stackrel\frown{AN}+sđ\stackrel\frown{AM})=1/ 2sđ\stackrel\frown{MN}`

`\qquad \hat{AKH}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{CN})=1/ 2(sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{AN})=1/ 2sđ\stackrel\frown{MN}`

`=>\hat{AHK}=\hat{AKH}`

`=>∆AHK` cân tại $A$

$\\$

Ta có:

`\hat{NCI}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{MN}` (góc nội tiếp chắn cung $MN$)

`\hat{NIC}=1/ 2 (sđ\stackrel\frown{CN}+sđ\stackrel\frown{BM})=1/ 2(sđ\stackrel\frown{AN}+sđ\stackrel\frown{AM})=1/ 2sđ\stackrel\frown{MN}`

`=>\hat{NCI}=\hat{NIC}`

`=>∆NIC` cân tại $N$

$\\$

`c)` Xét $∆MNI$ và $∆MCK$ có:

`\qquad \hat{M}` chung

`\qquad \hat{MNI}=\hat{MCK}` (chắn $2$ cung bằng nhau $BM$ và $AM$)

`=>∆MNI∽∆MCK` (g-g)

`=>{MN}/{MC}={MI}/{MK}`

`=>MK.MN=MI.MC`

$\\$

`d)` Ta có:

`\hat{INK}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{BM}` (góc nội tiếp chắn cung $BM$)

`\hat{ICK}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AM}` (góc nội tiếp chắn cung $AM$)

Mà `\stackrel\frown{BM}=\stackrel\frown{AM}` (đã c/m)

`=>\hat{INK}=\hat{ICK}`

`=>CNKI` nội tiếp (vì có 2 đỉnh kề nhau $N;C$ cùng nhìn cạnh $IK$ dưới hai góc bằng nhau)

`=>\hat{IKH}=\hat{NCI}` (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

$\\$

Vì $BMHI$ nội tiếp (câu a)

`=>\hat{IHK}=\hat{IBM}` (góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện)

Mà `\hat{NCI}=\hat{IBM}` (cùng chắn cung $MN$)

`=>\hat{IHK}=\hat{IKH}`

`=>∆IHK` cân tại $I$

`=>IH=IK` $(1)$

$\\$

Ta có:

`\hat{IBA}=\hat{IBC}` (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau $AN;CN$)

`=>BI` là phân giác `\hat{ABC}`

`\hat{ICA}=\hat{ICB}` (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau $AM;BM$)

`=>CI` là phân giác `\hat{ACB}`

Mà $I$ là giao điểm của $BI; CI$

`=>I` là giao điểm $3$ đường phân giác $∆ABC$

`=>AI` là phân giác `\hat{BAC}`

`=>\hat{CAB}=2\hat{KAI}`

Ta có:

`\qquad \hat{CKI}=\hat{CNI}` (do $CNKI$ nội tiếp)

Mà `\hat{CNI}=\hat{CAB}` (cùng chắn cung $CB$)

`=2\hat{KAI}`

`=>\hat{CKI}=2\hat{KAI}`

$\\$

Vì `\hat{CKI}` là góc ngoài `∆AKI`

`=>\hat{CKI}=\hat{KAI}+\hat{KIA}`

`=>2\hat{KAI}=\hat{KAI}+\hat{KIA}`

`=>\hat{KAI}=\hat{KIA}`

`=>∆KIA` cân tại $K$

`=>IK=AK` $(2)$

$\\$

Mà $∆AHK$ cân tại $A$ (câu b)

`=>AK=AH` $(3)$

Từ `(1);(2);(3)=>AH=AK=IH=IK`

`=>AHIK` là hình thoi