a)

Vì $ABCD$ là hình bình hành

$\to AB=CD$ và $AB//CD$

$\to \dfrac{AB}{2}=\dfrac{CD}{2}$ và $AB//CD$

$\to AM=CN$ và $AM//CN$

$\to AMCN$ là hình bình hành

b)

Tương tự câu a

Ta có $AM=ND$ và $AM//ND$

$\to AMND$ là hình bình hành

$\to MN//AD$

c)

Vì $AMCN$ là hình bình hành nên $AN//MC$

Xét $\Delta ABE$ có:

+   $M$ là trung điểm $AB$

+   $MF//AE$

$\to F$ là trung điểm $BE$

$\to MF$ là đường trung bình của $\Delta ABE$

$\to MF//AE$ và $MF=\dfrac{1}{2}AE$

d)

Vì $AN//MC$

Nên $\widehat{DNE}=\widehat{MCN}=\widehat{BMF}$

Xét $\Delta DEN$ và $\Delta BFM$, ta có:

+   $\widehat{DNE}=\widehat{BMF}\left( cmt \right)$

+   $DN=BM$

+   $\widehat{EDN}=\widehat{FBM}$ (so le trong)

$\to \Delta DEN=\Delta BFM\left( g.c.g \right)$

e)

Xét $\Delta CDF$ có:

+   $N$ là trung điểm $CD$

+   $NE//CF$

$\to E$ là trung điểm $DF$

$\to DE=EF$

Mà $EF=FB$ (vì $F$ là trung điểm $BE$)

$\to DE=EF=FB$