a)

Xét $\Delta ADB$ và $\Delta AEC$, ta có:

+   $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}=90{}^\circ $
+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

$\to \Delta ADB\sim\Delta AEC\left( g.g \right)$

b)

Xét $\Delta HEB$ và $\Delta HDC$,ta có:

+   $\widehat{HEB}=\widehat{HDC}=90{}^\circ $

+   $\widehat{EHB}=\widehat{DHC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta HEB\sim\Delta HDC\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{HE}{HB}=\dfrac{HD}{HC}$

Xét $\Delta HED$ và $\Delta HBC$, ta có:

+   $\dfrac{HE}{HD}=\dfrac{HB}{HC}\left( cmt \right)$

+   $\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\to \Delta HED\sim\Delta HBC\left( c.g.c \right)$

c)

Xét $\Delta DHC$ và $\Delta DAB$, ta có:

+   $\widehat{HDC}=\widehat{ADB}=90{}^\circ $

+   $\widehat{DCH}=\widehat{DBA}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$)

$\to \Delta DHC\sim\Delta DAB\left( g.g \right)$

$\to \dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DC}{DB}$

$\to DH.DB=DA.DC$

d)

Vì $\Delta ADB\sim\Delta AEC\left( cmt \right)$

$\to \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$

Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$, ta có:

+   $\widehat{BAC}$ là góc chung

+   $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}\left( cmt \right)$

$\to \Delta ADE\sim\Delta ABC\left( c.g.c \right)$

$\to \widehat{ADE}=\widehat{ABC}$